Capítulo 7

Integrales impropias
7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
El concepto de integral se extiende de manera casi espontánea a situaciones más generales que
las que hemos examinado hasta ahora. Consideremos, por ejemplo, la función no acotada
f : (0, 1] → R,

f (t) = logt.

Puesto que f es continua, para cada x ∈ (0, 1] existe su integral en [x, 1], que vale
! 1
x

f=

! 1
x

y como
l´ım

logt dt = [t logt − t]t=1
t=x = −1 − x log x + x;

! 1

x→0+ x

f = l´ım+ [−1 − x log x + x] = −1,
x→0

parece natural escribir, simplemente,

! 1
0

f = −1.

Igualmente, si en el intervalo no acotado [0, +∞) tomamos la función continua f (t) = e−t , para cada
x ∈ [0, +∞) tenemos
! x

l´ım

!0 x

x→+∞ 0

lo que sugiere escribir

f=

! x
0

−x
e−t dt = [−e−t ]t=x
t=0 = −e + 1,

"
#
f = l´ım −e−x + 1 = 1,
x→+∞

! +∞
0

e−t dt = 1.

Siguiendo estas ideas podemos definir en distintas situaciones una integral generalizada o integral
impropia, lo que nos llevará a estudiar diferentes tipos de condiciones que permitan asegurar su existencia.
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