7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

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Del siguiente resultado (y de su análogo para intervalos semiabiertos por la izquierda) se deduce
que en esta definición es indiferente el punto c que se elija. También se deduce que la convergencia
de una integral impropia es un concepto local, que depende solo del comportamiento del integrando
cerca del punto impropio, en un entorno del extremo conflictivo.
Proposición 7.1.5. Sea f : [a, b) → R una función localmente integrable y sea a < c < b. La función
f es integrable en sentido impropio en [a, b) si y solo si es integrable en sentido impropio en [c, b), en
cuyo caso se tiene
! b

f=

a

! c
a

f+

! b

f.

c

(7.3)

Demostración. Basta tener en cuenta que para cada x ∈ (c, b) es
! x

f=

a

! c
a

f+

! x

f.

c

Por tanto, el límite cuando x → b− de la primera integral existe si y solo si existe el límite de la tercera
integral, y cuando esto suceda, pasando al límite se obtiene la relación (7.3).
Los conceptos anteriores se extienden al caso de funciones definidas en una unión finita de intervalos disjuntos. Por ejemplo:
Definición 7.1.6. Sea J = ∪nk=1 Ik , donde (Ik )nk=1 es una familia de intervalos
disjuntos. Si f es una
$
función localmente integrable en J, se dice que la integral impropia J f es convergente si converge
$
cada una de las integrales abkk f , donde ak y bk son los extremos de Ik ; en ese caso, se define
!

J

f=

n

∑

! bk

k=1 ak

f.

Nota. Cuando los
intervalos (Ik$) son contiguos, es decir, cuando b1 = a2 , . . . , bk−1 = ak , . . . , bn−1 = an ,
$
suele escibirse ab1n f en vez de J f .
Ejemplos.

a) Dado α ∈ R, las integrales impropias

si α < 1, y divergen a +∞ si α ≥ 1.
b) La integral impropia
c) La integral impropia

! +∞
dt
1

! +∞
0

tα

! b
a

dt
y
(t − a)α

! b
a

dt
son convergentes
(b − t)α

es convergente si α > 1. Si α ≤ 1, diverge a +∞.

e−αt dt es convergente si α > 0. Si α ≤ 0, diverge a +∞.

d) La función
f (x) = √

1
1 − x2

es localmente integrable en (−1, 1) porque es continua. Su integral impropia es convergente:
! 1

dx
√
=
−1
1 − x2

! 0

dx
√
+
−1
1 − x2

( f tiene como primitiva la función arc sen).

! 1
0

√

dx
π
π
= −(− ) + = π
2
2
1 − x2