Capítulo 7. Integrales impropias

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7.2. Convergencia de integrales impropias
7.2.1.

Convergencia de integrales impropias con integrando no negativo. Criterios de
comparación

En el caso particular de que la función sea no negativa, el estudio de la convergencia de su integral
es más sencillo:
Proposición
7.2.1. Sea f una función localmente integrable y no negativa en [a, b). La integral im$
propia ab f es convergente si y solo si la función
F(x) =

! x
a

x ∈ [a, b)

f,

está acotada. En caso contrario, la integral diverge a +∞.
Demostración. Como f es no negativa, la función F es monótona no decreciente. Recordando que
l´ım F(x) = sup{F(x) : x ∈ [a, b)},

x→b−

se deduce que el límite es finito si F está acotada (superiormente), mientras que si no está acotada el
límite es +∞.
Una consecuencia importante de este resultado es el siguiente criterio de comparación, que permite reducir el estudio de la convergencia de una integral impropia al de otras conocidas.
Proposición 7.2.2 (criterio de comparación por mayoración). Sean f , g funciones no negativas
localmente integrables en un intervalo [a, b). Supongamos que existen una constante
K y algún c ∈
$
[a, b) tales que f (x) ≤ Kg(x) siempre que c < x < b. Si la integral impropia ab g es convergente,
$
entonces también la integral impropia ab f es convergente.
Demostración. Para cada x ∈ [a, b) es

! x
a

f≤

! c
a

f +K

! b
c

g,

así que el resultado se deduce de la proposición 7.2.1.
Proposición 7.2.3 (criterio de comparación por paso al límite). Sean f , g funciones no negativas
localmente integrables en un intervalo [a, b). Supongamos que existe
f (x)
= ! ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}.
g(x)

l´ım

x→b−

a) Si ! < +∞ y la integral impropia
converge.
b) Si 0 < ! y la integral impropia

$b

c) Si 0 < ! < ∞, las dos integrales
o las dos son divergentes.

a

a

g converge, entonces la integral impropia

g diverge, entonces la integral impropia

$b
a

$b

fy

$b
a

$b
a

$b
a

f también

f también diverge.

g tienen el mismo carácter: o las dos son convergentes,