Capítulo 7. Integrales impropias

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Nota. Para más sencillez, solo vamos a considerar por lo general integrales impropias en intervalos
del tipo [a, b), donde −∞ < a < b ≤ +∞. Dejamos al lector escribir las modificaciones pertinentes
para los otros casos.
La noción de integral impropia se reduce a la de integral de Riemann cuando tratamos con funciones integrables-Riemann.
Proposición 7.1.7. Sea f : [a, b] → R una función integrable-Riemann en [a, b]. Entonces f es integrable en sentido impropio en [a, b) y su integral impropia es igual a la integral de Riemann.
Demostración. Según el teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4), la función
F(x) =
es continua en b, así que

! b
a

! x

f

a

f = l´ım−
x→b

! x
a

f.

Esto demuestra que f es integrable en sentido impropio en [a, b) y que su integral impropia es igual a
la integral de Riemann.
La misma idea sirve para demostrar que si una función es continua en [a, b) y en b tiene una
discontinuidad evitable, entonces es integrable en sentido impropio en [a, b):
Proposición 7.1.8. Sea −∞ < a < b < +∞. Si f : [a, b) → R es una función continua y existe el límite
l´ım− f (x) ∈ R, entonces f es integrable en sentido impropio en [a, b) y
x→b

! b
a

f=

! b
a

g,

donde g es la extensión continua de f a [a, b].
Demostración. La función g es integrable Riemann, ya que es continua en [a, b]. Según la definición
de integral impropia,
! b
a

f = l´ım−
x→b

! x
a

f = l´ım−
x→b

! x
a

g=

! b
a

g,

donde en la última igualdad se usa el teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4).
Observación. Con la misma demostración, se puede probar que si f es una función localmente integrable en [a, b) y se puede extender a una función integrable-Riemann en [a, b], entonces la integral
impropia
! b
a

es convergente.

f