7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1.2.

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Primeras propiedades de las integrales impropias

Algunas propiedades de la integral de Riemann se trasladan sin dificultad a las integrales impropias, como muestran las proposiciones siguientes.
Proposición 7.1.9. Sean f , g funciones integrables en sentido impropio en un intervalo [a, b). Dados
λ , µ ∈ R, la integral impropia
! b
a

es convergente, y se cumple

! b
a

(λ f + µg)

(λ f + µg) = λ

! b
a

f +µ

! b
a

g.

Proposición 7.1.10 (regla de Barrow para integrales impropias). Sea g una función derivable en
[a, b) y tal que

g)

es localmente integrable en [a, b). La integral impropia

! b
a

g) es convergente si y

solo si el límite l´ım− g(x) existe y es finito. Y si eso ocurre, entonces se verifica
x→b

! b
a

g) = l´ım− g(x) − g(a).
x→b

Proposición 7.1.11 (integración por partes en integrales impropias). Sean u, v funciones derivables en [a, b) y tales que u) , v) son localmente integrables en [a, b). Si existen y son reales dos de los
límites siguientes:
l´ım−

! x

u) v,

uv) = l´ım− u(x)v(x) − u(a)v(a) −

! b

u) v.

l´ım−

x→b

! x
a

uv) ,

l´ım− u(x)v(x),

x→b

x→b

a

entonces el otro también existe y es real y se verifica
! b
a

x→b

a

Proposición 7.1.12 (cambio de variable en integrales impropias). Sean I y J intervalos abiertos,
[a, b) ⊆ J, f : I → R una función continua, u : J → I una función derivable tal que existe l´ım− u(y) =
! ∈ R ∪ {±∞} y con derivada u) continua. Entonces la integral
! b
a

f (u(x))u) (x) dx

converge si y solo si converge la integral
! !

u(a)

f (t) dt,

en cuyo caso ambas integrales son iguales:
! b
a

f (u(x))u) (x) dx =

! !

u(a)

f (t) dt.

y→b