7.2. Convergencia de integrales impropias

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Demostración. a) Si ! < ∞, tomemos ! < K < ∞; existe un c tal que f (x) < Kg(x) si c < x < b. Basta
entonces aplicar el criterio 7.2.2 de mayoración.
b) Si 0 < !, tomemos 0 < K < !; existe algún
c tal que f (x) > Kg(x) si c < x < b. Por el crite$
$
rio 7.2.2 de mayoración, si la integral impropia ab g diverge necesariamente la integral impropia ab f
debe divergir.
c) Es una consecuencia inmediata de a) y b).
$

$

Nótese que si, en particular, es f (x) ∼ g(x) cuando x → b− , entonces ab f y ab g tienen el mismo
carácter.
Examinando los ejemplos que hemos visto de convergencia y divergencia, del criterio 7.2.3 se
deduce:
Corolario 7.2.4 (criterio de Pringsheim).
a) Sea f una función no negativa, localmente integrable en un intervalo [a, +∞) y tal que para algún α existe el límite
l´ım xα f (x) = ! ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}.

x→+∞

Entonces:
• si α ≤ 1 y ! > 0, la integral

$ +∞
a

• si α > 1 y ! += +∞, la integral

f diverge (a +∞).

$ +∞
a

f converge.

b) Sea f una función no negativa, localmente integrable en un intervalo [a, b), con −∞ < a < b <
+∞, y tal que para algún α existe el límite
l´ım (b − x)α f (x) = ! ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}.

x→b−

Entonces:
• si α ≥ 1 y ! > 0, la integral

$b
a

• si α < 1 y ! += +∞, la integral

7.2.2.

f diverge (a +∞).
$b
a

f converge.

Integrales impropias de integrando cualquiera: convergencia absoluta y convergencia condicional. Criterios de Abel y Dirichlet

Definición 7.2.5. Sea f una función localmente integrable en [a, b). Decimos que la integral impropia
de f en [a, b) es absolutamente convergente si la integral impropia
! b
a

| f (t)| dt

es convergente.
Proposición 7.2.6. Toda integral impropia absolutamente convergente es convergente.
Demostración. Sea f : [a, b) → R localmente integrable y supongamos que la integral impropia
es convergente. Definamos
f+ (x) = m´ax{ f (x), 0},
f− (x) = m´ax{− f (x), 0}.

$b
a

|f|