7.3. Ejercicios

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Como hay integrales impropias condicionalmente convergentes, es importante disponer de criterios de convergencia que no dependan de la convergencia absoluta; de ellos, los que más se usan en la
práctica son los criterios de Abel y Dirichlet.
Proposición 7.2.8 (criterio de Abel). Sea f una función integrable en sentido impropio en
un in$
tervalo [a, b) y g una función monótona y acotada en dicho intervalo. Entonces la integral ab f g es
convergente.
Proposición 7.2.9 (criterio
%! x de% Dirichlet). Sea f una función localmente integrable en un interva%
%
lo [a, b) y tal que sup %%
f %% es finito y sea g una función monótona en [a, b) con l´ım− g(x) = 0.
a<x<b a
$b
a f g es

Entonces la integral

x→b

convergente.

7.3. Ejercicios
Ejercicio 7.1. Estudiar la convergencia de la integral
! +∞
−1

dx

(

|x(1 − x2 )|

.

Ejercicio 7.2. Determinar el carácter de las siguientes integrales impropias:
! +∞

a)

0

! 1/2

e)

0

dx
1 + x2

b)

dx
x log x

f)

! π/2
dx

i)

0

m)

0

dx
√
x2 + x

! +∞ 2 −x
x e

p)

0

1 + x2

2

log x

dx

! +∞
log x

x

1

dx

! 1

dx
√
0
1 − x2
! 3
dx
2 − 1)2
(x
0

n)

! +∞

q)

2

! +∞
dx

t)

c)

x+1

0

j)

cos x

! +∞

! +∞
dx

3

e−x dx

g)
k)
ñ
r)

! +∞
0

! +∞

dx
|x − 1|

! 1

d)

x dx
√
0
x4 + 3
! +∞ 2
x dx
4 +1
x
0

0

! 2

h)

1

dx
√
2
2
−x + 6x − 8
! +∞
sen x
dx
2
−∞ 1 + x

dx
(x3 − 4x2 + 4x)1/3

! +∞

l)

! 4

log x dx

0

! 3

o)

0

! 1

s)

0

dx
(1 + x5 )1/6

dx
(x(3 − x))1/3

1
(log x) sen dx
x

Ejercicio 7.3. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales y, si convergen, calcular su valor:
a)
e)
i)
m)

! +∞
1

! π
0

dx
x(1 + x2 )

dx
2 + cos x

! +∞ −x
e

dx
1 + ex
! 1)
1+x
dx
1−x
−1
1

b)
f)
j)

! +∞
2

! π
0

c)

cos2 x
dx
1 + cos2 x

! +∞
0

dx
x2 − 1

|x − 3|e

−x

dx

g)
k)

! 0

−∞

xex dx

! +∞
1

! +∞
0

d)

dx
x x2 − 1
√

|x−2|

xe

dx

h)
l)

! 1

x| log x| dx

! 3

|x − 2| log x dx

0

! 2

x2 dx
√
−2
4 − x2
1