Capítulo 7. Integrales impropias

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Ejercicio 7.4 (funciones gamma y beta de Euler). Probar que dados t, u, v ∈ (0, +∞), las siguientes
integrales son convergentes:
Γ(t) =
B(u, v) =
Ejercicio 7.5.

! +∞
0

! 1
0

xt−1 e−x dx,

xu−1 (1 − x)v−1 dx.

a) Probar que Γ(t + 1) = tΓ(t), para todo t > 0.

b) Probar que Γ(n + 1) = n! para todo entero n ≥ 0.
Ejercicio 7.6. Teniendo en cuenta la función Γ y sabiendo que Γ( 12 ) =
a)
e)

! +∞
0

! +∞
−∞

2

x2 e−x dx
x3 e

−x2

dx

b)
f)

! +∞
0

! +∞
0

2

3−4x dx
−x2

(x − 3)e

c)
dx

g)

! +∞
−∞

! +∞
0

√
π, calcular estas integrales:

x2 e−|x−1| dx
√
− x

(x2 + 1)e

d)
dx

! 1
0

x2 log4 x dx