Capítulo 7. Integrales impropias

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Las funciones f+ y f− son localmente integrables y es fácil comprobar que
0 ≤ f+ ≤ | f |,

$

0 ≤ f− ≤ | f |,

$

así que las integrales impropias ab f+ y ab f− son convergentes. También es fácil comprobar que
$
f = f+ − f− , luego la integral ab f es convergente.
f−

f

f+

Las funciones f , f + y f −

Como la convergencia absoluta de una integral impropia es la convergencia de la integral de una
función no negativa, la proposición 7.2.6 permite aprovechar en muchos casos los métodos de comparación de integrandos no negativos. Por ejemplo:
a) la integral

! +∞
cos x

y la integral
b) la integral

1!

+∞

x2

1

1
x2

dx
converge);
x2

! +∞
sen x

x

0

% x%
%≤
dx es convergente, porque es absolutamente convergente (0 ≤ % cos
x2

dx es convergente, puesto que integrando por partes
! y
sen x
1

x

dx = −

& cos x 'y
x

1

−

! y
cos x
1

x2

dx

y el segundo miembro de esta igualdad tiene límite finito para y → +∞, como consecuencia de
a).
Sin embargo, hay integrales impropias convergentes
que no son absolutamente convergentes. El
$ +∞ sen x
ejemplo estándar es precisamente la integral 0
x dx, como vemos a continuación.
Ejemplo. La integral

$ +∞ | sen x|
0

x

! nπ

(n−1)π

Luego

dx no es convergente. En efecto: para cada n ∈ N,

| sen x|
1
dx ≥
x
nπ

! Nπ
| sen x|
0

x

2
dx ≥
π

! nπ

(n−1)π

| sen x| dx =

! N+1
dx
1

x

=

2
2
≥
nπ
π

! n+1
dx
n

x

.

2
log(N + 1) → +∞.
π

Definición 7.2.7. Si una integral impropia es convergente pero no es absolutamente convergente, se
dice que es condicionalmente convergente.