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Capítulo 1
El Plano Euclidiano
1.1

La Geometría Griega

En el principio, la geometría era una colección de reglas de uso común para medir
y construir casas y ciudades. Fue hasta el año 300 AC que Euclides de Alejandría,
en sus Elementos, ordena y escribe todo ese saber, imprimiéndole el sello de rigor
lógico que caracteriza y distingue a las matemáticas. Se da cuenta de que todo razonamiento riguroso (o demostración) debe basarse sobre ciertos principios previamente
establecidos ya sea, a su vez, por demostración o bien por convención. Pero a final
de cuentas, este método conduce a la necesidad ineludible de convenir en que ciertos
principios básicos (postulados o axiomas) son válidos sin necesidad de demostrarlos,
que están dados y son incontrovertibles para poder construir sobre ellos el resto de
la teoría. Lo que hoy se conoce como Geometría Euclidiana, y hasta hace dos siglos
simplemente como Geometría, está basada sobre los cinco postulados de Euclides:
I Por cualesquiera dos puntos, se puede trazar el segmento de recta que los une.
II Dados un punto y una distancia, se puede trazar el círculo de centro el punto y
radio la distancia.
III Un segmento de recta, se puede extender en ambas direcciones indefinidamente.
IV Todos los ángulos rectos son iguales.
V Dadas dos rectas y una tercera que las corta, si los ángulos internos de un lado
suman menos de dos ángulos rectos, entonces las dos rectas se cortan y lo hacen
de ese lado.
Obsérvese que en estos postulados se describe el comportamiento y la relación entre
ciertos elementos básicos de la geometría, como son “punto”, “trazar”, “segmento”,
“distancia”, etc. De alguna manera, se le dá la vuelta a su definición haciendo uso de
13

14

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

la noción intuitiva que se tiene de ellos y haciendo explicitas ciertas relaciones básicas
que deben cumplir.
De estos postulados o axiomas, el quinto es el más famoso pues se creía que
podría deducirse de los otros. Es más sofisticado, y entonces se pensó que debía
ser un Teorema, es decir, ser demostrable. De hecho, un problema muy famoso
fué ese: demostrar el quinto postulado usando unicamente a los otros cuatro. Y
muchísimas generaciones de matemáticos lo atacaron sin exito. No es sino hasta el
siglo XIX, y para la sorpresa de todos, que se demuestra que no se puede demostrar;
que efectivamente hay que suponerlo como axioma, pues negaciones de él dan origen
a “nuevas geometrías”, tan lógicas y bien fundamentadas como la euclidiana. Pero
esta historia se vera más adelante (en los Capítulos 6 y 8) pues por el momento nos
interesa introducir a la geometría analítica.
La publicación de la “Geometrie” de Descartes (1596—1650) marca una revolución
en las matemáticas. La introducción del álgebra a la solución de problemas de índole geométrico desarrolló una nueva intuición y con ésta, un nuevo entender de la
naturaleza de las “Linges Courves”.
Para comprender lo que hizo Descartes, se debe tener más familiaridad con el
quinto postulado. Además del enunciado original, hay otras dos versiones que son
equivalentes:
V.a (El Quinto) Dada una línea recta y un punto fuera de ella, existe una única
recta que pasa por el punto y que es paralela a la línea.
V.b Los ángulos interiores de un triángulo suman dos ángulos rectos.
De las tres versiones que hemos dado del quinto postulado de Euclides, usaremos
a lo largo de este libro a la V.a, a la cual nos referiremos simplemente como “El
Quinto”.
Antes de entrar de lleno a la Geometría Analítica demostremos, a manera de homenaje a los griegos y con sus métodos, uno de sus teoremas más famosos e importantes.

c

a
b

Teorema 1.1.1 (Pitágoras). Dado un triángulo rectángulo, si los lados
que se encuentran en un ángulo recto (llamados catetos) miden a y b, y el
tercero (la hipotenusa) mide c, entonces
a2 + b2 = c2 .

Demostración. Considérese un cuadrado de lado a + b, y colóquense en él cuatro
copias del triángulo de dos maneras diferentes como en la figura. Las areas que quedan
fuera son iguales.
¤

1.2. PUNTOS Y PAREJAS DE NÚMEROS

b

2

c

a

2

2

15

Aunque la demostración anterior (hay otras) parece
no usar nada, queda implicito el uso del quinto postulado; pues, por ejemplo, en el primer cuadrado, que el
cuadradito interno de lado c tenga ángulo recto usa su
versión V.b. Además, hace uso de nuevos conceptos
como son el área y cómo calcularla; en fin, hace uso
de nuestra intuición geométrica, que debemos creer y
fomentar. Pero vayamos a lo nuestro.

*EJERCICIO 1.1 Demostrar la equivalencia de V, V.a y V.b. Aunque no muy formalmente
(como en nuestra demostración de Pitágoras), convencerse con dibujos de que tienen todo
que ver entre ellos.
EJERCICIO 1.2 Demuestra el Teorema de Pitágoras ajustando (sin que se traslapen) cuatro
copias del triángulo en un cuadrado de lado c y usando que (b−a)2 = b2 −2ab+a2 , (estamos
suponiendo que a < b, como en la figura anterior).

1.2

o

Puntos y parejas de números

Para reinterpretar el razonamiento que hizo Descartes, supongamos por un momento
que conocemos bien al Plano Euclidiano definido por los cinco axiomas de los Elementos; es el conjunto de puntos que se extiende indefinidamente a semejanza de
un pizarrón, un papel, un piso o una pared y viene acompañado de nociones como
rectas y distancia, entre otras; y en el cual se pueden demostrar teoremas como el de
Pitágoras. Denotaremos por E2 a este plano; en este caso el exponente 2 se refiere a
la dimensión y no es exponenciación (no es “E al cuadrado”, sino que debe leerse “E
dos”). Da la idea de que puede haber espacios euclidianos de cualquier dimensión En
(léase “E ene”), aunque sería complicado definirlos axiomáticamente. De hecho los
definiremos pero de una manera más simple que es usando coordenadas: la idea genial
de Descartes. Podríamos ahora, apoyados en el lenguaje moderno de los conjuntos,
recrear su razonamiento como sigue.
El primer paso es notar que los puntos de una recta ` ⊂ E2 corresponden biunivocamente a los números reales, que se denotan por R. Escogemos un
p
punto o ∈ ` que se llamará el origen y que corresponderá al número
`
cero. El origen parte a la recta en dos mitades; a una de ellas se le
x
asocian los números positivos de acuerdo a su distancia al origen,
y a la otra mitad los números negativos. Así, a cada número real x
se le asocia un punto p en `, y a cada punto en ` le corresponde un número real.
De esta identificación natural surge el nombre de “recta de los números reales”
y todo el desarrollo ulterior de la Geometría Analítica, e inclusive del Cáculo. Los
números tienen un significado geométrico (los griegos lo sabían bien al entenderlos

16

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

como distancias), y entonces problemas geométricos (y físicos) pueden atacarse y
entenderse manipulando números.
El segundo paso para identificar los puntos del plano euclidiano con parejas de
números hace uso esencial del quinto postulado. Tómense dos rectas `1 y `2 en el plano
E2 que se intersecten en un punto o que será el origen. Orientamos las rectas para que
sus puntos correspondan a números reales como arriba. Entonces a cualquier punto
p ∈E2 se le puede hacer corresponder una pareja de números de la siguiente forma.
Por el Quinto, existe una única recta `01 que pasa por p y es
0
paralela a `1 ; y análogamente, existe una única recta `02 que
`2
`2
pasa por p y es paralela a `2 . Las intersecciones `1 ∩`02 y `2 ∩`01
0
p
`1
determinan los puntos p1 ∈ `1 y p2 ∈ `2 , respectivamente, y
p2
por tanto, determinan dos números reales x y y; es decir, una
pareja ordenada (x, y). Y al revés, dada la pareja de números
`1
y
(x, y), tómense p1 como el punto que está sobre `1 a distancia
p1
x de o, y p2 como el punto que está sobre `2 a distancia y de
0
x
o (tomando en cuenta signos, por supuesto). Sea `01 la recta
que pasa por p2 paralela a `1 y sea `02 la recta que pasa por
p1 paralela a `2 (¡acabamos de usar de nuevo al Quinto!). La intersección `01 ∩ `02 es
el punto p que corresponde a la pareja (x, y).
La generalidad con que hicimos el razonamiento anterior
fué para hacer explicito el uso del quinto postulado en el ra`2
zonamiento clásico de Descartes, pero no conviene dejarlo tan
p =(x,y)
ambiguo. Es costumbre tomar a las rectas `1 y `2 ortogonales:
a `1 horizontal con su dirección positiva a la derecha (como
y
vamos leyendo), conocida tradicionalmente como el eje de las
x; y a `2 vertical con dirección positiva hacia arriba, el famoso
`1
x
0
eje de las y. No sólo por costumbre se utiliza esta convención, sino que simplifica el álgebra asociada a la geometría
clásica. Por ejemplo, permitirá usar el teorema de Pitágoras
para calcular facilmente las distancias a partir de las coordenadas. Pero esto se verá
más adelante.
En resumen, al fijar los ejes coordenados, a cada pareja de números (x, y) le
corresponde un punto p ∈ E2 , pero iremos más allá y los identificaremos diciendo
p = (x, y). Además, se le puede hacer corresponder la flechita
(segmento de recta dirigido llamado vector) que ‘nace’ en el origen
(x,y)
y termina en el punto. Así, las siguientes interpretaciones son
equivalentes y se usarán de manera indistinta a lo largo de todo
el libro.
a. Un punto en el plano.
0
b. Una pareja de números reales.
c. Un vector que va del origen al punto.
Nótese que si bien en este texto las palabras punto y vector son equivalentes,

1.2. PUNTOS Y PAREJAS DE NÚMEROS

17

tienen diferentes conotaciones. Mientras que un punto es pensado como un lugar
(una posición) en el espacio, un vector es pensado como un segmento de línea dirigido
de un punto a otro.
El conjunto de todas las parejas ordenadas de números se denota por R2 = R × R.
En este caso el exponente 2 sí se refiere a exponenciación, pero de conjuntos, lo que se
conoce ahora como el Producto Cartesiano en honor de Descartes (véase el Apéndice);
aunque la usanza común es leerlo “R dos”.

1.2.1

Geometría Analítica

La idea genialmente simple R2 = E2 (es decir, las parejas de números reales se identifican naturalmente con los puntos del plano euclidiano) logra que converjan las aguas
del álgebra y la geometría. A partir de Descartes se abre la posibilidad de reconstruir
la geometría de los griegos sobre la base de nuestra intuición númerica (básicamente
la de sumar y multiplicar). Y a su vez, la luz de la geometría baña con significados
y problemas al álgebra. Se hermanan, se apoyan, se entrelazan: nace la geometría
analítica.
De aquí en adelante, salvo en contadas ocaciones donde sea inevitable y como
comentarios, abandonaremos la linea del desarrollo histórico. De hecho, nuestro
tratamiento algebráico está muy lejos del original de Descartes, pues usa ideas desarrolladas en el Siglo XIX. Pero antes de entrar de lleno a él, vale la pena enfatizar
que no estamos abandonando el método axiomático iniciado por Euclides, simplemente cambiaremos de conjunto de axiomas: ahora nos basaremos en los axiomas de
los números reales (ver la Observación que sigue al Teorema 1.3.1). De tal manera
que los objetos primarios de Euclides (línea, segmento, distancia, ángulo, etc.) serán
definiciones (por ejemplo, punto ya es “pareja ordenada de números” y plano es el
conjunto de todos los puntos), y los cinco postulados serán teoremas que hay que demostrar. Nuestros objetos primarios básicos serán ahora los números reales y nuestra
intuición geométrica primordial es que forman una recta: La Recta Real, R. Sin embargo, la motivación básica para las definiciones sigue siendo la intuición geométrica
desarrollada por los griegos. No queremos hacernos los occisos como si no conocieramos a la geometría griega; simplemente la llevaremos a nuevos horizontes con el
apoyo del álgebra –el enfoque analítico– y para ello tendremos que reconstruirla.
EJERCICIO 1.3 Encuentra diferentes puntos en el plano dados por sus coordenadas (por
ejemplo, el (3, 2), el (−1, 5), el (0, −4), el (−1, −2)„ el (1/2, −3/2)).

EJERCICIO 1.4 Identifica los cuadrantes donde las parejas tienen signos determinados.

EJERCICIO 1.5 ¿Cúales son las coordenadas de los vértices de un cuadrado de lado 2,
centrado en el origen y con lados paralelos a los ejes?
EJERCICIO 1.6 ¿Cúales son las coordenadas de los vértices del octágono
regular que incluye como vertices a los del cuadrado anterior? (Tienes que
usar al Teorema de Pitágoras.)

18

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

EJERCICIO 1.7 ¿Puedes dar las coordenadas de los vértices de un triángulo equilatero
centrado en el origen? Dibújalo. (Usa de nuevo al Teorema de Pitágoras, en un triángulo
rectángulo con hipotenusa 2 y un cateto 1).

1.2.2

z

El espacio de dimensión n

La posibilidad de extender con paso firme la geometría euclidiana a más de dos
dimensiones es una de las aportaciones de mayor profundidad del método cartesiano.
Aunque nos hayamos puesto formales en la sección anterior para demostrar una
correspondencia natural entre E2 y R2 , intuitivamente es muy simple. Al fijar los dos
ejes coordenados –las dos direcciones preferidas– se llega
de manera inequivoca a cualquier punto en el plano dando
las distancias que hay que recorrer en esas direcciones para
y
llegar a él. En el espacio, habrá que fijar tres ejes coordenadas y dar tres numeritos. Los dos primeros dan un punto
(x,y,z)
en el plano (que podemos pensar horizontal, como el piso),
y el tercero nos da la altura (que puede ser positiva o negaz
tiva). Si denotamos por R3 al conjunto de todas las ternas
x
y
(x, y, z) de números reales, como estas corresponden a puntos en el espacio una vez que se fijan los tres ejes, podemos
x
definir al espacio euclidiano de tres dimensiones como R3 , sin
preocuparnos de axiomas. ¿Y porqué pararse en 3? ¿o en 4?
Dado un número natural n ∈ {1, 2, 3, . . . }, denotamos por Rn al conjunto de todas
las n-adas (léase “eneadas”) ordenadas de números reales (x1 , x2 , . . . , xn ). Formalmente,
Rn := {(x1 , x2 , . . . , xn ) | xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n} .
Para valores pequeños de n, se pueden usar letras x, y, z e inclusive w para denotar
las coordenadas; pero para n general esto es imposible y no nos queda más que
usar los subindices. Asi, tenemos un conjunto bien definido, Rn , al que podemos
llamar “espacio euclidiano de dimensión n”, y hacer geometría en él. A una n-ada
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn se le llama vector o punto.
El estudiante que se sienta incómodo con esto de muchas dimensiones, puede sustituir (pensar en) un 2 o un 3 siempre que se se use n y referirse al plano o al espacio
tridimensional que habitamos para su intuición. No pretendemos en este libro estudiar la geometría de estos espacios de muchas dimensiones. Nos concentraremos en
dimensiones 2 y 3, así que puede pensarse a la n como algo que puede tomar valores
2 o 3 y que resulta muy útil para hablar de los dos al mismo tiempo pero en singular. Sin embargo, es importante que el estudiante tenga una visión amplia y pueda
preguntarse en cada momento ¿qué pasaría en 4 o más dimensiones? Como verá, y
a veces señalaremos explicitamente, algunas cosas son muy fáciles de generalizar, y

1.3. EL ESPACIO VECTORIAL R2

19

otras no tanto. Por el momento, baste con volver a enfatizar el amplísimo mundo que
abre el método de las coordenadas cartesianas para las matemáticas y la ciencia.
Vale la pena en este momento puntualizar las convenciones de notación que utilizaremos en este libro. A los números reales los denotamos por letras simples, por
ejemplo x, y, z, o bien a, b y c o bien t, r y s; e inclusive conviene a veces utilizar
letras griegas, α “alfa”, β “beta” y γ “gama”, o λ “lambda” y µ “mu” (por alguna
razón hemos hecho costumbre de utilizarlas siempre en pequeñas familias). Por su
parte, a los puntos o vectores los denotamos por letras en negritas, por ejemplo, p y
q para enfatizar que estamos pensando en su caracter de puntos, o bien, usamos u, v,
w o d (acrónimo elegante que usaremos para “dirección”) y n (acrónimo para “normal”) para subrayar su papel vectorial. Por supuesto, x, y y z siempre son buenos
comodines para vectores (puntos o eneadas) variables o incógnitos, que no hay que
confundir con x, y, z, variables reales o numéricas.

1.3

El Espacio Vectorial R2

En esta sección se introduce la herramienta algebráica básica para hacer geometría
con parejas, ternas o n-adas de números. Y de nuevo la idea central es muy simple:
así como los números se pueden sumar y multiplicar, también los vectores tienen sus
operacioncitas. Lo único que suponemos de los números reales es que sabemos, o
mejor aún, que “saben ellos” sumarse y multiplicarse; y en base a ello extenderemos
estas nociones a vectores.
Definición 1.3.1 Dados dos vectores u = (x, y) y v =
(x´, y´) en R2 , definimos su suma vectorial, o simplemente su
suma, como el vector u + v que resulta de sumar coordenada
a coordenada:

x+y
y2
y

u + v := (x + x´, y + y´) ,

x

es decir,

y1
x2

(x, y) + (x´, y´) := (x + x´, y + y´) .

0

x1

Nótese que en cada coordenada, la suma que se usa es la suma usual de números
reales. Así que al signo “+” de suma le hemos ampliado el espectro de “saber sumar
números” a “saber sumar vectores”; pero con una receta muy simple: “coordenada a
coordenada”. Por ejemplo,
(3, 2) + (−1, 1) = (2, 3) .

20

v
0

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

La suma vectorial corresponde geométricamente a la regla del
paralelogramo
usada para encontrar la resultante de dos vectores.
u+ v
Esto es, se piensa a los vectores como segmentos dirigidos que salen
del origen, generan entonces un paralelogramo, y el vector que va
del origen a la otra esquina es la suma. También se puede pensar
como la acción de dibujar un vector tras otro, pensando que los
u
vectores son segmentos dirigidos que pueden moverse paralelos a si
mismos.
Definición 1.3.2 Dados un vector u = (x, y)∈ R2 y un número t ∈ R se define la multiplicación escalar t u como el vector que resulta de
multiplicar cada coordenada del vector por el número:
tu
u
0 x

ty

y

t u := (t x, t y) .

tx

Nótese que en cada coordenada, la multiplicación que se usa es
la de los números reales.

u
-u

0

2u

3u

La multiplicación escalar corresponde a la dilatación, contracción y/o posiblemente al cambio de dirección de un vector.
Veamos. Es claro que
2u = (2x, 2y) = (x + x, y + y) = u + u ,

así que 2u es el vector “u seguido de u” o bien, “u dilatado a su doble”. De la misma
manera que 3u es un vector que apunta en la misma dirección pero de tres veces su
tamaño. O bien, es fácil deducir que ( 12 )u, como punto, esta justo a la mitad del
camino del origen 0 = (0, 0) a u. Así que t u para t > 1 es, estrictamente hablando,
una dilatación de u, y para 0 < t < 1 una contracción del mismo. Por último, para
t < 0, t u apunta en la dirección contraria ya que, en particular, (−1)u =: −u es el
vector que, como segmento dirigido, va del punto u al 0 (puesto que u+ (−u) = 0) y
el resto se obtiene como dilataciones o contracciones de −u.
No está de más insistir en una diferencia escencial entre las dos operaciones que
hemos definido. Si bien, la suma vectorial es una operación que de dos ejemplares de la
misma especie (vectores) nos da otro de ellos; la multiplicación escalar involucra a dos
objetos de diferente índole, por un lado al “escalar”, un número real, y por el otro a un
vector, dando como resultado un nuevo vector. Los vectores no se multiplican (por
el momento), solo los escalares (los números reales) saben multiplicarlos (pegarles,
podría decirse) y les cambián con ello su “escala”.
EJERCICIO 1.8 Sean v1 = (2, 3), v2 = (−1, 2), v3 = (3, −1) y v4 = (1, −4).
i).- Calcula y dibuja: 2v1 − 3v2 ; 2(v3 − v4 ) − v3 + 2v4 ; 2v1 − 3v3 + 2v4 .
ii).- ¿Qué vector x ∈ R2 cumple que 2v1 + x = 3v2 ; 3v3 − 2x = v4 + x ?
iii).- ¿Puedes encontrar r, s ∈ R tales que r v2 + s v3 = v4 ?

1.3. EL ESPACIO VECTORIAL R2

21

EJERCICIO 1.9 Dibuja el origen y tres vectores cualesquiera u, v y w en un papel. Con
un par de escuadras encuentra los vectores u + v, v + w y w + u.
EJERCICIO 1.10 Dibuja el origen y dos vectores cualesquiera u, v en un papel. Con regla
(escuadras) y compás, encuentra los puntos (1/2) u + (1/2) v, 2u − v, 3u − 2v, 2v − u.
¿Resultan colineales?
EJERCICIO 1.11 Describe el lugar geométrico definido por Lv := {t v | t ∈ R}.

Estas definiciones se extienden a Rn de manera natural. Dados dos vectores x =
(x1 , . . . , xn ) y y = (y1 , . . . , yn ) en Rn y un número real t ∈ R, defínanse la suma
vectorial (o simplemente la suma) y el producto escalar como sigue
x + y := (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) ,
t x := (t x1 , . . . , t xn ) .
Es decir, la suma de dos vectores (con el mismo número de coordenadas) se obtiene
sumando coordenada a coordenada y el producto por un escalar (un número) se
obtiene multiplicando a cada coordenada por ese número.
Las propiedades básicas de la suma vectorial y la multiplicación escalar se reunen
en el siguiente teorema, donde el vector 0 = (0, . . . , 0) es llamado vector cero que
corresponde al origen; y, para cada x ∈ Rn, el vector −x := (−1)x se llama inverso
aditivo de x.
Teorema 1.3.1 Para todos los vectores x, y, z ∈ Rn y para todos los números s, t ∈ R
se cumple que:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)

1.3.1

(x + y) + z = x + (y + z)
x+y =y+x
x+0=x
x + (−x) = 0
s(t x) = (st)x
1x = x
t (x + y) = t x + t y
(s + t) x = s x + t x

¿Teorema o Axiomas?

Antes de pensar en demostrar el teorema anterior, vale la pena reflexionar un poco
sobre su carácter pues está muy cerca de ser un conjunto de axiomas y es sútil qué
quiere decir eso de demostrarlo.
Primero, debemos observar que Rn tiene sentido para n = 1, es simplemente una
manera rimbombante de referirse a los números reales. Así que del Teorema anterior,

22

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

siendo n = 1 (es decir, si x, y, z estan en R) se obtienen parte de los axiomas de los
números reales. Esto es, cada enunciado es una de las reglas elementales de la suma y
la multiplicación que conocemos desde chiquitos. Del (i) al (iv) son los axiomas que
hacen a R con la operación suma lo que se conoce como un “grupo conmutativo” : (i)
dice que la suma es “asociativa”, (ii) que es “conmutativa”, (iii) que el 0 –o bien,
el 0– es su “neutro” (aditivo) y (iv) que todo elemento tiene “inverso” (aditivo).
Por su parte, (v) y (vi) nos dicen que la multiplicación es asociativa y que tiene un
neutro (multiplicativo), el 1; pero nos faltaría que es conmutativa y que tiene inversos
(multiplicativos). Entonces tendríamos que añadir:
ix) t s = s t
x) Si t 6= 0, existe t−1 tal que t t−1 = 1
para obtener que R − {0} (los reales quitándole el 0) son un grupo conmutativo con
la multiplicación. Finalmente, (vii) y (viii) ya dicen lo mismo (en virtud de (ix)),
que las dos operaciones se distribuyen.
Obsérvese que en el caso general (n > 1) (ix) y (x) ni siquiera tienen sentido; pues
sólo cuando n = 1 la multiplicación escalar involucra a seres de la misma especie. En
resumen, para el caso n = 1, el teorema es un subconjuto de los axiomas que definen
las operaciones de los números reales. No hay nada que demostrar, pues son parte
de los axiomas básicos que vamos a usar. El resto de los axiomas que definen los
números reales se refieren a su orden y, para que el libro quede autocontenido, de una
vez los enunciamos. Los números reales tienen una relación de orden, denotada ≤ y
que se lee “menor o igual que” que cumple, para a, b, c, d ∈ R, con:
Oi)
Oii)
Oiii)
Oiv)
Ov)

a≤b
a≤b
a≤b
a≤b
a≤b

o
y
y
y
y

b ≤ a (es un orden total)
b≤a ⇔ a=b
b ≤ c ⇒ a ≤ c (es transitivo)
c≤d ⇒ a+c≤b+d
0 ≤ c ⇒ ac ≤ bc

Además, los reales cumplen con el axioma del supremo que intuitivamente dice que
la recta numérica no tiene “hoyos”, que forman un continuo. Pero este axioma,
fundamental para el cálculo pues hace posible formalizar lo “infinitesimal” no se usa
en este libro, así que ahí lo dejamos.
Regresando al Teorema 1.3.1, para n > 1 la cosa es sutilmente diferente. Nosotros
definimos la suma vectorial, y al ser algo nuevo sí tenemos que verificar que cumple las
propiedades requeridas. Vale la pena introducir a Dios, el usado en matemáticas no
el de las religiones, para que quede claro. Dios nos dá los números reales con la suma
y la multiplicación, de alguna manera nos “ilumina” y ¡puff!: ahí están, con todo y
sus axiomas. Ahora, nosotros –simples mortales– osamos definir la suma vectorial
y la multiplicación de escalares a vectores, pero Dios ya no nos asegura nada, él ya
hizo su chamba: nos toca demostrarlo a nosotros.

1.3. EL ESPACIO VECTORIAL R2

23

Demostración. (del Teorema1.3.1) Formalmente solo nos interesa demostrar el
teorema para n = 2, 3, pero escencialmente es lo mismo para cualquier n. La demostración de cada inciso es muy simple, tanto así que hasta confunde, consiste en
aplicar el axioma correspondiente que cumplen los números reales coordenada a coordenada y la definición de las operaciones involucradas. Sería muy tedioso, y aportaría
muy poco al lector, demostrar los ocho incisos, así que sólo demostraremos con detalle
el primero para R2 , dejando los demas y el caso general como ejercicio.
i). Sean x, y, z ∈ R2 , entonces x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) y z = (z1 , z2 ), donde
cada xi , yi y zi (i = 1, 2) son números reales (nótese que conviene usar subindices con
la misma letra que en negritas denota al vector). Tenemos entonces de la definición
de suma vectorial que
(x + y) + z = (x1 + y1 , x2 + y2 ) + (z1 , z2 )
y usando nuevamente la definición se obtiene que esta última expresión es
= ((x1 + y1 ) + z1 , (x2 + y2 ) + z2 ) .
Luego, como la suma de números reales es asociativa (el axioma correspondiente de
los números reales usado coordenada a coordenada) se sigue
= (x1 + (y1 + z1 ), x2 + (y2 + z2 )) .
Y finalmente, usando dos veces la definición de suma vectorial, se obtiene
= (x1 , x2 ) + (y1 + z1 , y2 + z2 )
= (x1 , x2 ) + ((y1 , y2 ) + (z1 , z2 ))
= x + (y + z)
lo que demuestra que (x + y) + z = x + (y + z); y entonces tiene sentido escribir
x + y + z.
¤
Se conoce como espacio vectorial a un conjunto en el que están definidas dos operaciones (suma vectorial y multiplicación escalar) que cumplen con las ocho propiedades
del Teorema 1.3.1. De tal manera que este teorema puede parafrasearse “Rn es un
espacio vectorial”. ¿Podría el lector mencionar un espacio vectorial distinto de Rn ?
EJERCICIO 1.12 Usando los axiomas de los números reales, asi como las definiciones de
suma vectorial y producto escalar, demuestra algunos incisos del Teorema 1 para el caso
n = 2 y n = 3. ¿Verdad que lo único que cambia es la longitud de los vectores, pero los
argumentos son exactamente los mismos? Demuestra (aunque sea mentalmente) el caso
general.
EJERCICIO 1.13 Demuestra que si a ≤ 0 entonces 0 ≤ −a. (Usa el axioma (Oiv))

24

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

EJERCICIO 1.14 Observa que los axiomas de orden no dicen nada sobre cómo estan
relacionados el 0 y el 1, pero se puede deducir de ellos. Supon que 1 ≤ 0, usando el ejercicio
anterior y los axiomas (Ov) y (Oii), demuestra que entonces −1 = 0; como esto no es
cierto se debe cumplir la otra posibilidad por (Oi), es decir, que 0 ≤ 1.
EJERCICIO 1.15 Demuestra que si a ≤ b y c ≤ 0 entonces ac ≥ bc (donde ≥ es mayor o
igual ).

Ejemplo. Como corolario de este teorema se tiene que el “algebrita” simple a la
que estamos acostumbrados con números también vale con vectores. Por ejemplo, en
el ejercicio (1.8.ii.b) se pedía encontrar el vector x tal que
3v3 − 2x = v4 + x
Hagámoslo. Se vale pasar con signo menos del otro lado de la ecuación (sumando
el inverso aditivo a ambos lados), y por tanto esta ecuación equivale a
−3x = v4 − 3v3
y multiplicando por −1/3 se obtiene que
x = v3 − (1/3)v4 .
Ya nada más falta substituir por los valores dados. Es probable que el estudiante
haya hecho algo similar y qué bueno: tenía la intuición correcta. Pero hay que tener
cuidado, asi como con los números no se vale dividir entre cero, no se le vaya a ocurrir
tratar de ¡dividir por un vector! Aunque a veces se pueden “cancelar” (ver Ej. 1.3.1).
Para tal efecto, el siguiente Lema será muy usado y vale la pena verlo en detalle.
Lema 1.3.1 Si x ∈ R2 y t ∈ R son tales que t x = 0 entonces t = 0 o x = 0.
Demostración. Suponiendo que t 6= 0 , hay que demostrar que x = 0 para completar
el lema. Pero entonces t tiene inverso multiplicativo y podemos multiplicar por t−1
ambos lados de la ecuación t x = 0 para obtener (usando (v) y (vi)) que x = (t−1 ) 0 =
0 por la definición del vector nulo 0 = (0, 0).
¤

EJERCICIO 1.16 Demuestra que si x ∈ R3 y t ∈ R son tales que t x = 0 entonces t = 0 o
x = 0. ¿Y para Rn ?
EJERCICIO 1.17 Demuestra que si x ∈ Rn es distinto de 0, y t, s ∈ R son tales que
t x = s x, entonces t = s . (Es decir, si x 6= 0 se vale “cancelarlo” aunque sea vector.)

1.4. LÍNEAS RECTAS

1.4

25

Líneas rectas

En el estudio de la geometría clásica, las rectas son subconjuntos básicos descritos
por los axiomas; se les reconoce intuitivamente y se parte de ellas para construir lo
demás. Con el método cartesiano, esto no es necesario. Las líneas se pueden definir o
construir, correspondiendo a nuestra noción intuitiva de ellas –que no varía en nada
de la de los griegos–, para despues ver que efectivamente cumplen con los axiomas
que antes se les asociaban. En esta sección, definiremos las rectas y veremos que
cumplen los axiomas primero y tercero de Euclides.
Nuestra definición de recta estará basada en la intuición física de una partícula
viajando en movimiento rectilíneo uniforme; es decir, con velocidad fija y en la misma
dirección. Estas dos nociones (velocidad como magnitud y dirección) se han amalgamado en el concepto de vector.
Recordemos que en el ejercicio 1.3, se pide describir al conjunto Lv := {t v ∈ R2 | t ∈ R} donde v ∈ R2 . Debía ser claro que
v
si v 6= 0, entonces Lv , al constar de todos los múltiplos escalares
0
del vector v, se dibuja como una recta que pasa por el origen
(pues 0 = 0 v) con la dirección de v. Si pensamos a la variable
t como el tiempo, la función ϕ(t) = t v describe el movimiento rectilineo uniforme
de una particula que viene desde tiempo infinito negativo, pasa por el orígen 0 en
el tiempo t = 0 (llamada la posición inicial), y seguira por siempre con velocidad
constante v.
Pero por el momento queremos pensar a las rectas como conjuntos (en el capítulo
siguiente estudiaremos más a profundidad las funciones). Los conjuntos Lv , al rotar
v, nos dan las rectas por el orígen, y para obtener otras, bastara “empujarlas” fuera
del origen (o bien, arrancar el movimiento con otra posición inicial).
Definición 1.4.1 Dados un punto p y un vector v 6= 0, la recta
que pasa por p con dirección v es el conjunto:
p

` := {p + t v | t ∈ R}.
2

(1.1)

Una recta o línea en R es un subconjunto que tiene, para algún
p y v 6= 0, la descripción anterior.

v
0

A esta forma de definir una recta se le conoce como representación paramétrica.
Esta representación trae consigo una función entre los números reales y la recta:
ϕ : R → R2
ϕ(t) = p + t v

(1.2)

De hecho, esta función define una biyección entre R y `. Como ` se definio por
medio del parametro t ∈ R, es claro que es la imagen de la función ϕ; es decir, ϕ es
sobre. Demostremos (aunque de la intuición física parezca obvio) que es uno-a-uno.

Lv

26

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

Supongamos para esto que ϕ(t) = ϕ(s) para algunos t, s ∈ R y habrá que concluir
que t = s. Por la definición de ϕ se tiene
p + tv = p + sv
De aquí, sumando el inverso del lado izquierdo a ambos (que equivale a pasarlo de un
lado al otro con signo contrario) se tiene
0 =
=
=
=
=

p + s v − (p + t v)
p + s v − p − t v)
(p − p) + (s v − t v)
0 + (s − t)v
(s − t) v

donde hemos usado las propiedades (i), (ii), (iii), (iv) y (viii) del Teorema 1.3.1.1
Del Lema 1.3.1, se concluye que s − t = 0 o bien que v = 0. Pero por hipótesis
v 6= 0 (esto es la escencia), asi que no queda otra que s = t. Esto demuestra que ϕ
es inyectiva; que nuestra intuición se corrobora.
Hemos demostrado que cualquier recta está en biyección natural con R, la recta
modelo, así que todas las líneas son una “copia” de la recta real abstracta R.
Observación 1.4.1 En la definición anterior, asi como en la demostración, no se usa
de manera escencial que p y v esten en R2 . Solo se usa que hay una suma vectorial
y un producto escalar bien definidos. Asi que el punto y el vector podrían estar en
R3 o en Rn . Podemos entonces dar por establecida la noción de recta en cualquier
dimensión al cambiar 2 por n en la Definición 1.4.
Observación 1.4.2 A la función 1.2 se le conoce como “movimiento rectilíneo uniforme” o “movimiento inercial”, pues, como decíamos al principio de la sección,
describe la manera en que se mueve una partícula, o un cuerpo, que no está afectada
por ninguna fuerza y tiene posición p y vector velocidad v en el tiempo t = 0.
Ya podemos demostrar un resultado clásico, e intuitivamente claro.
Lema 1.4.1 Dados dos puntos p y q en Rn , existe una recta que pasa por ellos.

`

Demostración.
Si tuvieramos que p = q, como hay muchas rectas que pasan
por p, ya acabamos. Supongamos entonces que p 6= q, que es el caso interesante. Si
tomamos como punto base para la recta que buscamos a p, bastará
encontrar un vector que nos lleve de p a q, para tomarlo como
q
dirección. Este es la diferencia q − p, pues claramente

d

1

p

p + (q − p) = q ,

Esta es la última vez que haremos mensión explicita del uso del Teorema 1.3.1, de aquí en
adelante se aplicaran sus propiedades como si fueran lo más natural del mundo. Pero vale la pena
que el estudiante se cuestione por algún tiempo qué es lo que se esta usando en las manipulaciones
algebráicas.

1.4. LÍNEAS RECTAS

27

de tal manera que si definimos d := q − p, como dirección, la recta
` = {p + t d | t ∈ R},
(que sí es una recta pues d = q − p 6= 0), es la que funciona. Con t = 0 obtenemos
que p ∈ `, y con t = 1 que q ∈ `.
¤
De la demostración del lema, se siguen los postulados I y III de Euclides. Obsérvese
que cuando t toma valores de entre 0 y 1, se obtienen puntos entre p y q (pues el
vector direccional (q − p) se encoge al multiplicarlo por t),
asi que el segmento de p a q, que denotaremos por pq, se
t>1 q
debe definir como
p
t=1
pq := {p + t(q − p) | 0 ≤ t ≤ 1}.
t=0

t<0

Y la recta ` que pasa por p y q, se extiende “indefinidamente” a ambos lados del
segmento pq; para t > 1 del lado de q y para t < 0 del lado de p.
*EJERCICIO 1.18 Aunque lo demostraremos más adelante, es un buen ejercicio demostrar
formalmente en este momento que la recta `, cuando p 6= q, es única.

EJERCICIO 1.19 Encuentra representaciones paramétricas de las
rectas en la figura. Observa que su representación paramétrica no
es única.
EJERCICIO 1.20 Dibuja las rectas
{(2, 3) + t(1, 1)
{(−1, 0) + s(2, 1)
{(0, −2) + (−r, 2r)
{(t − 1, −2t)

|
|
|
|

0

t ∈ R};
s ∈ R};
r ∈ R};
t ∈ R}.

EJERCICIO 1.21 Exhibe representaciones paramétricas para las 6 rectas que pasan por
dos de los siguientes puntos en R2 : p1 = (2, 4), p2 = (−1, 2), p3 = (−1, −1) y p4 = (3, −1).
EJERCICIO 1.22 Exhibe representaciones paramétricas para las 3 rectas que genera el
triángulo en R3 : q1 = (2, 1, 2), q2 = (−1, 1, −1), q3 = (−1, −2, −1).
EJERCICIO 1.23 Si una partícula viaja de 2q1 a 3q3 en movimiento inercial y tarda 4
unidades de tiempo en llegar. ¿Cuál es su vector velocidad?
EJERCICIO 1.24 Dados dos vectores u y v en Rn , el paralelogramo
que definen tiene como vértices a los puntos 0, u, v y u + v (como en
la figura). Demuestra que sus diagonales, es decir, los segmentos de 0 a
u + v y de u a v se intersectan en su punto medio.

u+v

v
u
0

28

1.4.1

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

Coordenadas Baricéntricas

Todavía podemos exprimirle más información a la demostración del Lema 1.4.1. Veremos cómo se escriben, en términos de p y q, los puntos de su recta, y que esto tiene
que ver con la clásica ley de las palancas. Además, de aquí surgirá una demostración
muy simple del Teorema clásico de concurrencia de medianas en un triángulo.
Supongamos que p y q son dos puntos distintos del plano. Para cualquier t ∈ R,
se tiene que
p + t(q − p) = p + t q − t p
= (1 − t)p + t q
al reagrupar los términos. Y esta última expresión, a su vez, se puede reescribir como
s p + t q con s + t = 1 ,
donde hemos introducido la nueva variable s = 1 − t. De lo anterior se deduce que la
recta ` que pasa por p y q se puede también describir como
` = {s p + t q | s + t = 1}
A los números s, t (con s + t = 1, insistimos), se les conoce como coordenadas baricéntricas del punto x = s p + t q con respecto a p y q.
Las coordenadas baricéntricas tienen la ventaja de que ya no distinguen entre los
dos puntos. Como lo escribiamos antes –solo con t– p era el punto base (“el que
la hace de 0”) y luego q era hacía donde ibamos (“el que la hace de 1”), jugaban un
papel distinto. Ahora no hay preferencia hacia ninguno de los dos; las coordenadas
baricéntricas son “democráticas”. Más aún, al expresar una recta por sus coordenadas baricéntricas no le damos una dirección preferida. Se usan simultaneamente
los parametros naturales para las dos direcciones (de p a q y de q a p); pues si
s + t = 1 entonces
s p + t q = p + t (q − p)
= q + s (p − q).
Nótese que x = s p + t q está en el segmento entre p y q si y sólo si sus dos
coordenadas baricéntricas son no negativas, es decir, si y solo si
q
t ≥ 0 y s ≥ 0. Por ejemplo, el punto medio tiene coordenadas
baricéntricas 1/2, 1/2, es (1/2)p + (1/2)q; y el punto que divide
al segmento de p a q en la proporción de 2/3 a 1/3 se escribe
p
(1/2) q + (1/2) p
(1/3)p + (2/3)q, pues se acerca más a q que a p. La extensión
de la recta más allá de q tiene coordenadas baricéntricas s, t
q
(1/3) q + (2/3) p
con s < 0 (y por lo tanto t > 1); asi que los puntos de ` fuera
del segmento de p a q tienen alguna coordenada baricéntrica
p
negativa (la correspondiente al punto más lejano).
(2/3) q + (1/3) p

1.4. LÍNEAS RECTAS

29

Físicamente, podemos pensar a la recta por p y q como una barra rígida. Si
distribuimos una masa (que podemos pensar unitaria, es decir
p
q
que vale 1) entre estos dos puntos, el punto de equilibrio tiene
1/2
1/2
las coordenadas baricéntricas correspondientes a las masas. Si,
por ejemplo, tienen el mismo peso, su punto de equilibrio está en
1/3
2/3
el punto medio. Las masas negativas pueden pensarse como una
fuerza hacia arriba y las correspondientes coordenadas baricén1
0
tricas nos dan entonces el punto de equilibrio para las palancas.
Veremos ahora un teorema clásico cuya demostración se simplifica enormemente usando coordenadas baricéntricas. Dado un
-1/3
4/3
triángulo con vértices a, b, c, se definen las medianas como los
segmentos que van de un vértice al punto medio del lado opuesto
a éste.
Teorema 1.4.1 Dado un triángulo a, b, c, sus tres medianas “concurren” en un
punto que las parte en la proporción de 2/3 (del vértice) a 1/3 (del lado opuesto).
Demostración. Como el punto medio del segmento b, c es ( 12 b + 12 c), entonces la
mediana por a es el segmento
1
1
{s a + t ( b + c) | s + t = 1 , s ≥ 0 , t ≥ 0},
2
2
y analogamente se describen las otras dos medianas. Por suerte, el enunciado del
Teorema nos dice dónde buscar la intersección: el punto que describe en la mediana
de a es precisamente
1
2 1
1
1
1
1
a + ( b + c) = a + b + c.
3
3 2
2
3
3
3

a

Entonces, de las igualdades
1
1
1
2 1
1
1
a+ b+ c =
a + ( b + c)
3
3
3
3
3 2
2
1
2 1
1
=
b + ( c + a)
3
3 2
2
1
2 1
1
=
c + ( a + b)
3
3 2
2

b
c

se deduce que las tres medianas concurren en el punto 13 (a + b + c), es decir, pasan
por él. Este punto es llamado el baricentro del triángulo, y claramente parte a las
medianas en la proporción deseada. De nuevo, el baricentro corresponde al “centro
de masa” o “punto de equilibrio” del triángulo.
¤

30

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

EJERCICIO 1.25 Si tienes una barra rígida de un metro y con una fuerza de 10kg quieres
levantar una masa de 40kg, ¿de dónde debes de colgar la masa, estando el punto de apoyo
al extremo de tu barra? Haz un dibujo.
EJERCICIO 1.26 Sean a, b y c tres puntos distintos entre sí. Demuestra que si a está en
la recta que pasa por b y c entonces b está en la recta por a y c.
EJERCICIO 1.27 Encuentra el baricentro del triángulo a = (2, 4), b = (−1, 2), c =
(−1, −1). Haz un dibujo.

EJERCICIO 1.28 Obérvese que en el teorema anterior, así como en la discución que le
precede, nunca usamos que estuvieramos en el plano. ¿Podría el lector enunciar y demostrar
el teorema análogo para tetraedros en el espacio? (Un tetraedro está determinado por cuatro
puntos en el espacio tridimensional, ¿dónde estará su centro de masa?). ¿Puede generalizarlo
a más dimensiones?

1.4.2

Planos en el espacio I

En la demostración del Teorema de las Medianas se uso una idea que podemos utilizar
para definir planos en el espacio. Dados tres puntos a, b y c en R3 (aunque debe
observar el lector que nuestra discusión se generaliza a Rn ), ya sabemos describir
las tres lineas entre ellos, supongamos que son distintas. Entonces podemos tomar
nuevos puntos en alguna de ellas y de estos puntos las nuevas lineas que los unen al
vértice restante (como lo hicimos en el teorema del punto medio de un segmento al
vértice opuesto). Es claro que la unión de todas estas líneas debe ser el plano por
a, b y c; esta es la idea que vamos a desarrollar.
Un punto y en la línea por a y b se escribe como
y = sa+t b

c
b
y
a

x

con s + t = 1 .

Y un punto x en la línea que pasa por y y c se escribe entonces
como
x = r (s a + t b) + (1 − r) c ,
para algún r ∈ R; que es lo mismo que
x = (r s) a + (r t) b + (1 − r) c .

Observemos que los tres coeficientes suman uno:
(r s) + (r t) + (1 − r) = r ( s + t ) + 1 − r = r (1) + 1 − r = 1 .
Y lo mismo hubiera pasado si en lugar de haber empezado con a y b, hubieramos
empezado con otra de las parejas. La tirada entonces es que cualquier combinación
de a, b y c con coeficientes que sumen uno debe estar en su plano. Demostraremos
que está en una linea por uno de los vértices y un punto en la linea que pasa por los
otros dos.

1.4. LÍNEAS RECTAS

31

Sean α, β, γ ∈ R tales que α + β + γ = 1. Consideremos al punto
x = α a + β b + γc .
Como alguno de los coeficientes es distinto de 1 (si no, sumarían 3), podemos suponer
sin perdida de generalidad (esto quiere decir que los otros dos
casos son análogos) que α 6= 1. Entonces podemos dividir por
c
x
1 − α y se tiene
¶
µ
y
γ
β
b+
c ,
x = α a + (1 − α)
b
1−α
1−α
asi que x está en la recta que pasa por a y el punto
a
γ
β
®<0
y=
b+
c.
1−α
1−α
En este caso: ¯>0
°>0
Como α +β +γ = 1, entonces β + γ = 1 − α, y los coeficientes
de esta última expresión suman uno. Por lo tanto y esta en la recta que pasa por b
y c. Hemos argumentado la siguiente definición:
Definición 1.4.2 Dados tres puntos a, b y c en R3 no colineales (es decir, que no
esten en una misma linea), el plano que pasa por ellos es el conjunto
Π = {α a + β b + γc | α, β, γ ∈ R ; α + β + γ = 1} .
A una expresión de la forma α a+β b+γc con α+β+γ = 1 la llamaremos combinación
afín (o baricéntrica) de los puntos a, b, c y a los coeficientes α, β, γ las coordenadas
baricéntricas del punto α a + β b + γc.
EJERCICIO 1.29 Considera tres puntos a, b y c no colineales, y sean α, β y γ las correspondientes coordenadas baricéntricas del plano que generan. Observa que cuando una de
las coordenadas baricéntricas es cero entonces el punto correspondiente está en una de las
tres rectas por a, b y c, ¿en cuál?, ¿puedes demostrarlo? Haz un dibujo de los tres puntos y
sus tres rectas. Estas parten al plano en pedazos (¿cuántos?), en cada uno de ellos escribe
los signos que toman las coordenadas baricéntricas (por ejemplo, en el interior del triángulo
se tiene (+, +, +) correspondiendo respectivamente a (α, β, γ)).
EJERCICIO 1.30 Dibuja tres puntos a, b y c no colineales. Con regla y compás encuentra
los puntos x = (1/2)a + (1/4) b + (1/4) c, y = (1/4)a + (1/2) b + (1/4) c y z = (1/4)a +
(1/4) b + (1/2) c. Describe y argumenta tu construcción. Supon que puedes partir en
tres el segmento bc (hazlo midiendo con una regla o a ojo). ¿Puedes construir los puntos
u = (1/2)a + (1/3) b + (1/6) c y v = (1/2)a + (1/6) b + (1/3) c ?
EJERCICIO 1.31 Demuestra que si u y v no son colineales con el origen, entonces el
conjunto {s u + t v | s, t ∈ R } es un plano por el origen. (Usa que s u + t v = r 0+ s u + t v
para cualquier r, s, t ∈ R).

EJERCICIO 1.32 Demuestra que si p y q estan en el plano Π de la Definición 1.4.2, entonces
la recta que pasa por ellos esta contenida en Π.

32

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

Definición lineal
Emocionado el autor por su demostración del teorema de medianas usando coordenadas baricéntricas, se siguió de largo y definió planos en el espacio de una manera
quizá no muy intuitiva. Que quede entonces la sección anterior como ejercicio en
la manipulación de combinaciones de vectores, si no quedo muy clara puede releerse
despues de esta. Pero conviene recapitular para definir planos de otra manera, para
aclarar la definición y así dejarnos la tarea de demostrar una equivalencia de dos
definiciones.
La recta que genera un vector u 6= 0, es el conjunto de todos sus “alargamientos”
Lu = {s u | s ∈ R}. Si ahora tomamos un nuevo vector v que no esté en Lu , tenemos una nueva recta Lv = {t v | t ∈ R} que
intersecta a la anterior sólo en el orígen. Estas dos rectas generan un plano que consiste
de todos los puntos (en R3 , digamos, para
su+tv
fijar ideas) a los cuáles se puede llegar desde
el origen moviéndose unicamente en las direcciones u y v. Este plano por el origen
v
claramente se describe con dos parametros
u
independientes:
Π0 = {s u + t v | s, t ∈ R} ,
que por su propia definición está hecho a imagen y semejanza del plano R2 (ver el ejercicio siguiente). Como lo hicimos con las rectas, podemos definir ahora a un plano cualquiera como un plano por el origen (el que
acabamos de describir) trasladado por cualquier otro vector constante.
Definición 1.4.3 Un plano en R3 es un conjunto de la forma
Π = {p + s u + t v | s, t ∈ R} ,
donde u y v son vectores no nulos tales que Lu ∩ Lv = {0} y p es cualquier punto.
A esta manera de describir un plano la llamaremos expresión paramétrica; a u y v
se les llama vectores direccionales del plano Π y a p el punto base de la expresión
paramétrica.
Para no confundirnos entre las dos definiciones de plano que hemos dado, llamemos
plano afín a los que definimos en la sección anterior. Y ahora demostremos que las
dos definiciones coinciden.
Lema 1.4.2 En R3 , todo plano es un plano afín y viceversa.
Demostración.
Sea Π como en la definición precedente. Debemos encontrar
tres puntos en él y ver que todos los elementos de Π se expresan como combinación

1.4. LÍNEAS RECTAS

33

baricéntrica de ellos. Los puntos más obvios son
a := p ; b := p + u ; c := p + v ,
que claramente están en Π. Obsérvese que entonces
se tiene que u = b − a y v = c − a, de tal manera
que para cualquier s, t ∈ R tenemos que
p + s u + t v = a + s (b − a) + t (c − a)
= a + sb − sa + tc − ta
= (1 − s − t) a + s b + t c .

c
v
p

b
u

a

Puesto que los coeficientes de esta última expresión suman 1, esto demuestra que
Π está contenido en el plano afín generado por a, b, c. E inversamente, cualquier
combinación afín de a, b, c tiene está última expresión, y por la misma igualdad se
ve que esta en Π. Obsérvese finalmente que si nos dan tres puntos a, b, c, se pueden
tomar como punto base a a y como vectores direccionales a (b − a) y (c − a) para
expresar paramétricamente al plano afín que generan, pues las igualdades anteriores
se siguen cumpliendo.
Ver que las condiciones que pusimos en ambas definiciones coinciden se deja como
ejercicio.
¤
Conviene, antes de seguir adelante, establecer cierta terminología y notación
para cosas, nociones y expresiones que estamos usando mucho:
• Dados vectores u1 , u2 , . . . , uk en Rn (para incluir nuestros casos de interes n =
2, 3 de una buena vez), a una expresión de la forma
s1 u1 + s2 u2 + · · · + sk uk
donde s1 , s2 , . . . , sk son números reales (escalares), se le llama una combinación
lineal de los vectores u1 , u2 , . . . , uk con coeficientes s1 , s2 , . . . , sk . Obsérvese
que toda combinación lineal da como resultado un vector, pero que un mismo
vector tiene muchas expresiones tales.
• Como ya vimos, a una combinación lineal cuyos coeficientes suman uno se le
llama combinación afín. Y a una combinación afín de dos vectores distintos o
de tres no colineales se le llama, además, baricéntrica.
• Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores u1 , u2 , . . . , uk
se le llama el subespacio generado por ellos y se le denotará hu1 , u2 , . . . , uk i. Es
decir,
hu1 , u2 , . . . , uk i := {s1 u1 + s2 u2 + · · · + sk uk | s1 , s2 , . . . , sk ∈ R} .

34

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO
Nótese que entonces, si u 6= 0 se tiene que Lu = hui es la recta generada por
u; y ambas notaciones se seguiran usando indistintamente. Aunque ahora hui
tiene sentido para u = 0, en cuyo caso hui = {0}, y Lu se usará para hacer
enfásis en que es una recta.
• Se dice que dos vectores u y v son linealmente independientes si son no nulos y
tales que Lu ∩ Lv = {0}.
• Dado cualquier subconjunto A ⊂ Rn , su trasladado por el vector (o al punto) p
es el conjunto
A + p = p + A := {x + p | x ∈ A} .

Podemos resumir entonces nuestras dos definiciones básicas como: una recta es
un conjunto de la forma ` = p + hui con u 6= 0; y un plano es un conjunto de la
forma Π = p + hu, vi con u y v linealmente independientes.
EJERCICIO 1.33 Demuestra que si u y v son linealmente independientes, entonces la
función f : R2 → R3 definida por f (s, t) = s u + t v es inyectiva.

EJERCICIO 1.34 Demuestra que cualquier plano está en biyección con R2 .

EJERCICIO 1.35 Demuestra que tres puntos a, b, c son no colineales si y sólo si los vectores
u := (b − a) y v := (c − a) son linealmente independientes.
EJERCICIO 1.36 Da una expresión paramétrica para el plano que pasa por los puntos
a = (0, 1, 2), b = (1, 1, 0) y c = (−1, 0, 2).
EJERCICIO 1.37 Demuestra que 0 ∈ hu1 , u2 , . . . , uk i para cualquier u1 , u2 , . . . , uk en Rn .
EJERCICIO 1.38 Demuestra que dos vectores u y v son linealmente independientes si y
sólo si la única combinación lineal de ellos que da 0 es la trivial (i.e., con ambos coeficientes
cero).
EJERCICIO 1.39 Demuestra que
w ∈ hu, vi

1.5

⇔

w + hu, vi = hu, vi

⇔

hu, v, wi = hu, vi .

Medio Quinto

Regresemos al plano. Ya tenemos la noción de recta, y en esta sección veremos que
nuestras rectas cumplen con la parte de existencia del quinto postulado, que nuestra
intuición va correspondiendo a nuestra formalización analítica de la geometría y que
al cambiar los axiomas de Euclides por unos más básicos (los de los números reales)
obtenemos a los anteriores, pero ahora como teoremas demostrables. Ya vimos que por

1.5. MEDIO QUINTO

35

cualquier par de puntos se puede trazar un segmento que se extiende indefinidamente
a ambos lados (Axiomas I y III), es decir, que por ellos pasa una recta. El otro axioma
que involucra rectas es el Quinto y este incluye a la noción de paralelismo, así que
habrá que empezar por ella.
Hay una definición conjuntista de rectas paralelas, formalizémosla. Como las
rectas son, por definición, ciertos subconjuntos distinguidos del plano, tiene sentido
la siguiente.
Definición 1.5.1 Dos rectas `1 y `2 en R2 son paralelas, que escribiremos `1 k`2 , si
no se intersectan, es decir si
`1 ∩ `2 = ∅,
donde ∅ denota al conjunto vacio (ver Apendice 1).
Pero además de rectas tenemos algo más elemental que son los vectores (segmentos dirigidos) y entre ellos también hay una noción intuitiva de paralelismo que
corresponde al “alargamiento” o multiplicación por escalares.
Definición 1.5.2 Dados dos vectores u, v ∈ R2 distintos de 0, diremos que u es
paralelo a v, que escribiremos ukv, si existe un número t ∈ R tal que u = t v.
Hemos eliminado al vector 0, el origen, de la definición para no complicarnos la
vida. Si lo hubieramos incluido no es cierto el siguiente ejercicio.

EJERCICIO 1.40 Demuestra que la relación “ser paralelo a” es una relación de equivalencia
en R2 \{0} (en el plano menos el origen llamado el “plano agujerado”). Describe las clases
de equivalencia.
EJERCICIO 1.41 Sean u, v dos vectores distintos de 0. Demuestra que:
ukv

⇔ Lu ∩ Lv 6= {0}

⇔

Lu = Lv

.

EJERCICIO 1.42 Demuestra que la relación entre rectas “ser paralelo a” es simétrica pero
no reflexiva.
EJERCICIO 1.43 Demuestra que dos rectas horizontales, es decir, con vector direccional
d = (1, 0), o son paralelas o son iguales.

Con la noción de paralelismo de vectores, podemos determinar cuando un punto
está en una recta.
Lema 1.5.1 Sea ` la recta que pasa por p con dirección d (d 6= 0), y sea q 6= p,
entonces
q∈`

⇔

(q − p) kd .

36

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

Demostración. Tenemos que q ∈ ` si y sólo si existe una
t ∈ R tal que

q
p

q = p + td.
Pero esto es equivalente a que q − p = t d, que por definición es
que q − p es paralelo a d.
¤

d

Teorema 1.5.1 (1/2 Quinto) Sean ` una recta en R2 y q un punto fuera de ella,
entonces existe una recta `0 que pasa por q y es paralela a `.

Demostración. Nuestra definición de recta nos da un punto p y un vector
dirección d 6= 0 para `, de tal manera que

q

` = {p + t d | t ∈ R} .

d

`

p
d
`

0

Es intuitivamente claro –y a la intuición hay que seguirla pues
es, de cierta manera, lo que ya sabíamos– que la recta paralela
deseada debe tener la misma dirección, así que definamos
`0 = {q + s d | s ∈ R} .

Como q ∈ `0 , nos falta demostrar que `k`0 , es decir, que ` ∩ `0 = ∅.Para lograrlo,
supongamos que no es cierto, es decir, que existe x ∈ ` ∩ `0 . Por las expresiones
paramétricas de ` y `0 , se tiene entonces que existen t ∈ R y s ∈ R para las cuales
x = p + t d y x = q + s d. De aquí se sigue que
q+ sd = p+ td
q − p = td − sd
q − p = (t − s) d,
y entonces q ∈ ` por el lema anterior, que es una contradicción a las hipótesis del
teorema. Dicho de otra manera, como demostramos que ` ∩ `0 6= ∅ implica que q ∈ `;
podemos concluir que si q ∈
/ `, como en la hipótesis del teorema, no puede suceder
que ` ∩ `0 sea no vacio; y por lo tanto ` ∩ `0 = ∅ y `k`0 por definición. Lo cual concluye
con la parte de existencia del Quinto Postulado.
¤

`

1.5. MEDIO QUINTO

37

La parte que falta demostrar del Quinto es la unicidad, es decir, que cualquier
otra recta que pase por q sí intersecta a `; que la única paralela es `0 . Esto se sigue
de que rectas con vectores direccionales no paralelos siempre se intersectan, pero
pospondremos la demostración formal de este hecho hasta tener más herramientas
conceptuales. En particular, veremos en breve cómo encontrar la intersección de
rectas para ejercitar la intuición, pero antes de entrarle, recapitulemos sobre la noción
básica de esta sección, el paralelismo.
De la demostración del teorema se sigue que dos rectas con la misma dirección
(o, lo que es lo mismo, con vectores direccionales paralelos) o son la misma o no se
intersectan. Conviene entonces cambiar nuestra noción conjuntista de paralelismo a
una vectorial.
Definición 1.5.3 Dos rectas `1 y `2 son paralelas, que escribiremos `1 k`2 , si tienen
vectores direccionales paralelos.
Con esta nueva definición (que es la que se mantiene en adelante) una recta es
paralela a sí misma, dos rectas paralelas distintas no se intersectan (son paralelas en
el viejo sentido) y la relación es claramente transitiva. Así
que es una relación de equivalencia y las clases de equivalencia corresponden a las clases de paralelismo de vectores (las
rectas agujeradas por el orígen). Llamaremos haz de rectas
paralelas a una clase de paralelismo de rectas, es decir, al
conjunto de todas las rectas paralelas a una dada (todas paralelas entre sí). Hay tantos haces de rectas paralelas como
hay rectas por el orígen, pues cada haz contiene exactamente
a una de estas rectas que, quitándole el origen, está formada
por los posibles vectores direccionales para las rectas del haz.
Además, nuestra nueva noción de paralelismo (1.5) tiene la gran ventaja de que se
extiende a cualquier espacio vectorial. Nótese primero que la noción de paralelismo
entre vectores no nulos se extiende sin problema a R3 , pues está en términos del producto por escalares; y luego nuestra noción de paralelismo entre rectas se sigue de la
de sus vectores direccionales. Por ejemplo, en el espacio R3 corresponde a nuestra noción intuitiva de paralelismo que no es conjuntista. Dos rectas pueden no intersectarse
sin tener la misma dirección.
EJERCICIO 1.44 Da la descripción paramétrica de dos rectas en R3 que no se intersecten
y que no sean paralelas.
EJERCICIO 1.45 (Quinto D3)Demuestra que dados un plano Π en R3 y un punto q fuera
de él, existe un plano Π0 que pasa por q y que no intersecta a Π.

38

1.6

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

Intersección de rectas I

En esta sección se analiza el problema de encontrar la intersección de dos rectas. De
nuevo, sabemos por experiencia e intuición que dos rectas no paralelas se deben intersectar en un punto. ¿Cómo encontrar ese punto? es la pregunta que responderemos
en esta sección.
Hagamos un ejemplo. Sean
l1

`1 = {(0, 1) + t(1, 2) | t ∈ R}
`2 = {(3, 4) + s(2, 1) | s ∈ R}.

l2

La intersección de estas dos rectas `1 ∩ `2 es el punto que cumple
con las dos descripciones. Es decir, buscamos una t ∈ R y una
s ∈ R que satisfagan
0

(0, 1) + t(1, 2) = (3, 4) + s(2, 1)

donde es importante haberle dado a los dos parametros diferente
nombre. Esta ecuación vectorial se puede reescribir como
t(1, 2) − s(2, 1) = (3, 4) − (0, 1)
(t − 2s, 2t − s) = (3, 3)
que nos da una ecuacion lineal con dos incógnitas en cada coordenada. Es decir,
debemos resolver el sistema:
t − 2s = 3
2t − s = 3
Despejando a t en la primera ecuación, se obtiene t = 3 + 2s. Y sustituyendo en la
segunda obtenemos la ecuación lineal en la variable s
2(3 + 2s) − s = 3,
que se puede resolver directamente:
6 + 4s − s = 3
3s = −3
s = −1.
Y por lo tanto, sustituyendo este valor de s en la descripción de `2 , el punto
(3, 4) − (2, 1) = (1, 3)

1.6. INTERSECCIÓN DE RECTAS I

39

está en las dos rectas. Nótese que basto con encontrar el valor de un sólo parametro,
pues de la correspondiente descripción paramétrica se obtiene el punto deseado. Pero
debemos encontrar el mismo punto si resolvemos primero el otro parametro. Veamos.
Otra manera de resolver el sistema es eliminar a la variable s. Para esto nos conviene
multiplicar por −2 a la segunda ecuación y sumarla a la primera, para obtener
−3t = −3
de donde t = 1. Que al sustituir en la parametrización de `1 nos da
(0, 1) + (1, 2) = (1, 3)
como esperabamos.
Observemos primero que hay muchas maneras de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales (se llaman asi porque los exponentes de las incógnitas son uno —parece
que no hay exponentes—) con dos incógnitas. Cualquiera de ellos es bueno y debe
llevar a la misma solución.
Que en este problema particular aparezca un sistema de ecuaciones no es casualidad, pues en general, encontrar la intersección de rectas se tiene que resolver así. Ya
que si tenemos dos rectas cualesquiera en R2 :
`1 = {p + t v | t ∈ R}
`2 = {q + s u | s ∈ R}.
Su intersección está dada por la t y la s que cumplen
p+ tv = q+ su
que equivale a
tv − su = q − p

(1.3)

Esta ecuación vectorial, a su vez, equivale a una ecuación lineal en cada coordenada.
Como estamos en R2 , y p, q, v y u son constantes, nos da entonces un sistema de dos
ecuaciones lineales con las dos incógnitas t y s. En cada caso particular el sistema
se puede resolver de diferentes maneras; por ejemplo, despejando una incógnita y
sustituyendo, o bien tomando múltiplos de las ecuaciones y sumándolas para eliminar
una variable y obtener una ecuación lineal con una sola variable (la otra) que se
resuelve directamente.
Para hacer la teoría y entender qué pasa con estos sistemas en general, será bueno
estudiar a las ecuaciones lineales con dos incógnitas de manera geométrica, veremos
que también estan asociadas a las líneas rectas. Por el momento, de manera “algebráica”, o mejor dicho, mecánica, resolvamos algunos ejemplos.

40

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

EJERCICIO 1.46 Encuentra los 6 puntos de intersección de las cuatro rectas del Ejercicio
1.4.
EJERCICIO 1.47 Encuentra las intersecciones de las rectas `1 = {(2, 0) + t(1, −2) | t ∈ R},
`2 = {(2, 1) + s(−2, 4) | s ∈ R} y `3 = {(1, 2) + r(3, −6) | r ∈ R}. Dibujalas para entender
que está pasando.

1.6.1

Sistemas de ecuaciones lineales

Veremos ahora un método general para resolver sistemas.
Lema 1.6.1 El sistema de ecuaciones
as + bt = e
cs + dt = f

(1.4)

en las dos incógnitas s, t tiene solución única si su determinante ad − bc es distinto
de cero.
Demostración. Hay que intentar resolver el sistema general, seguir un método que
funcione en todos los casos independientemente de los valores concretos que puedan
tener las constantes a, b, c, d, e y f. Y el método más general es el de “eliminar” una
variable para despejar la otra.
Para eliminar la t del sistema (1.4), multiplicamos por d a la primera ecuación, y
por −b a la segunda, para obtener
ad s + bd t = ed
−bc s − bd t = −bf

(1.5)

de tal manera que al sumar estas dos ecuaciones se tiene
(ad − bc) s = ed − bf .

(1.6)

Si ad − bc 6= 0 2 , entonces se puede despejar s:

ed − bf
ad − bc
Y analogamente (¡hágalo como ejercicio!), o bien, sustituyendo el valor de s en
cualquiera de las ecuaciones originales (¡convénzase!), se obtiene t:
s=

af − ec
.
ad − bc
Lo cual demuestra que si el determinante es distinto de cero, la solución es única; es
precisamente la de las dos fórmulas anteriores.
¤
t=

2

El número ad − bc es llamado el determinante del sistema, porque determina que en este punto
podamos proseguir.

1.7. PRODUCTO INTERIOR

41

Veámos ahora que pasa con el sistema 1.4 cuando su determinante es cero. Si
ad − bc = 0, obsérvese que aunque la ecuación (1.6) parezca muy sofisticada porque
tiene muchas letras, en realidad es o una contradicción (algo falso) o una trivialidad.
El coeficiente de s es 0, así que el lado izquierdo es 0. Entonces, si el lado derecho no
es 0 es una contradicción; y si sí es 0, es cierto para cualquier s y hay una infinidad
(precisamente un R) de soluciones.
Lo que sucedió en este caso (ad − bc = 0) es que al intentar eliminar a una de
las variables también se eliminó la otra (como debió haberle sucedido al estudiante
que hizo el Ejercicio 1.6). Entonces, o las dos ecuaciones son múltiplos y comparten
soluciones (cuando ed = bf las ecuaciones (1.5) ya son una la negativa de la otra); o
bien, sólo los lados izquierdos son múltiplos pero los derechos no por el mismo factor
(ed 6= bf ) y no hay soluciones comunes.
Podemos resumir con el siguiente Teorema que ya hemos demostrado.
Teorema 1.6.1 Un sistema de dos ecuaciones lineales
as + bt = e
cs + dt = f

(1.7)

en las dos incógnitas s, t tiene solución única si y sólo si su determinante ad − bc es
distinto de cero. Además, si su determinante es cero (si ad − bc = 0) entonces no
tiene solución o tiene una infinidad de ellas (tantas como R).
Si recordamos que los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
aparecieron buscando la intersección de dos rectas, este Teorema corresponde a nuestra intuición de las rectas: dos rectas se intersectan en un sólo punto o no se intersectan
o son la misma. De él dependerá la demostración de la mitad del Quinto que tenemos
pendiente, pero conviene entrarle al toro por los cuernos: estudiar y entender primero
el significado geométrico de las ecuaciones lineales con dos incógnitas.
EJERCICIO 1.48 Para las rectas de los dos ejercicios anteriores, determina cómo se intersectan las rectas, usando unicamente al determinante.

1.7

Producto Interior

En esta sección se introduce un ingrediente central para el estudio moderno de la
geometría euclidiana: el “producto interior”. Además de darnos la herramienta algebráica para el estudio geométrico de las ecuaciones lineales, en la sección siguiente,
nos dará mucho más. De él derivaremos despues las nociones básicas de distancia y
ángulo (de rigidez). Puede decirse que el producto interior es, aunque menos intuitivo, más elemental que las nociones de distancia y ángulo pues éstas se definirán en

42

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

base a aquel (aunque se verá tambien que estas dos juntas lo definen). El producto
interior depende tan intimamente de la idea cartesiana de coordenadas, que no tiene
ningún análogo en la geometría griega. Pero tampoco viene de los primeros pininos
que hizo la geometría analítica, pues no es sino hasta el Siglo XIX que se le empezó a
dar la importancia debida al desarrollarse las ideas involucradas en la noción general
de espacio vectorial. Podría entonces decirse que el uso del producto interior (junto
con el lenguaje de espacio vectorial) marca dos épocas en la geometría analítica. Pero
es quizá la simpleza de su definición su mejor tarjeta de presentación.
Definición 1.7.1 Dados dos vectores u = (u1 , u2 ) y v = (v1 , v2 ), su producto interno
(también conocido como producto escalar –que preferimos no usar para no confundir
con la multiplicación por escalares– o bien como producto punto) es el número real:
u · v = (u1 , u2 ) · (v1 , v2 ) := u1 v1 + u2 v2 .
En general, en Rn , se define el producto interior (o el producto punto) de dos vectores
u = (u1 , ..., un ) y v = (v1 , ..., vn ) como la suma de los productos de sus coordenadas
correspondientes, i.e.,
u · v := u1 v1 + · · · + un vn =
Asi, por ejemplo:

n
X

ui vi .

i=1

(4, 3) · (2, −1) = 4 × 2 + 3 × (−1) = 8 − 3 = 5,
(1, 2, 3) · (4, 5, −6) = 4 + 10 − 18 = −4.
Obsérvese que el producto interior tiene como ingredientes dos vectores (u, v ∈
R ) y nos da un escalar (u · v ∈ R); no debe confundirse con la multiplicación escalar,
que de un escalar y un vector nos da un vector, excepto en el caso n = 1 en el que
ambos coinciden con la multiplicación de los reales.
Antes de demostrar las propiedades básicas del producto interior, observemos
que nos será muy útil para el problema que dejamos pendiente sobre sistemas de
ecuaciones. Pues en una ecuación lineal con dos incógnitas, x y y digamos, aparece
una expresión de la forma ax + by con a y b constantes. Si tomamos un vector
constante u = (a, b) y un vector variable x = (x, y), ahora podemos escribir
n

u · x = ax + by
y el “paquete básico” de información está en u. En particular, como la mayoría de
los lectores ya lo deben saber, la ecuación lineal
ax + by = c
dónde c es una nueva constante, define una recta. Con el producto interior esta
ecuación se reescribe como
u · x = c,

1.7. PRODUCTO INTERIOR

43

veremos cómo en el vector u y en la constante c se almacena la información geométrica
de esa recta. Pero no nos apresuremos.
Como en el caso de la suma vectorial y la multiplicación por escalares, conviene
demostrar primero las propiedades elementales del producto interior para manejarlo
despues con más soltura.
Teorema 1.7.1 Para todos los vectores u, v, w ∈ Rn , y para todo número t ∈ R se
cumple que
i)
u·v =v·u
ii)
u · (t v) = t (u · v)
iii) u · (v + w) = u · v + u · w
iv)
u·u≥0
v)
u·u=0⇔u=0

Demostración. Nos interesa demostrarlo en R2 (y como ejercicio en R3 ), aunque
el caso general es escencialmente lo mismo. Convendrá usar la notación de la misma
letra con subindices para las coordenadas, es decir, tomar u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 )
y w = (w1 , w2 ). El enunciado (i) se sigue inmediatamente de las definiciones y la
conmutatividad de los números reales; (ii) se obtiene factorizando:
u · (t v) = u1 (tv1 ) + u2 (tv2 ) = t(u1 v1 + u2 v2 ) = t(u · v) .
De la distributividad y conmutatividad en los reales se obtiene (iii):
u · (v + w) = u1 (v1 + w1 ) + u2 (v2 + w2 )
= u1 v1 + u1 w1 + u2 v2 + u2 w2
= (u1 v1 + u2 v2 ) + (u1 w1 + u2 w2 ) = u · v + u · w .

Al tomar el producto interior de un vector consigo mismo se obtiene
u · u = u21 + u22 ,

que es una suma de cuadrados. Como cada cuadrado es positivo la suma también lo
es (iv); y si fuera 0 significa que cada sumando es 0, es decir, que cada coordenada
es 0 (v).
¤

EJERCICIO 1.49 Demuestra el teorema para n = 3.
EJERCICIO 1.50 Calcula el producto interior de los vectores del Ejercicio ??.
EJERCICIO 1.51 Demuestra sin usar (v), sólo la definición de producto interior, que dado
u ∈ R2 se tiene que
u · x = 0 ∀ x ∈ R2 ⇔ u = 0.

(Observa que sólo hay que usar el lado izquierdo para dos vectores muy sencillos.)
EJERCICIO 1.52 Demuestra el análogo del ejercicio anterior en R3 . ¿Y en Rn ?

44

1.7.1

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

El compadre ortogonal

El primer uso geométrico que le daremos al producto interior será para detectar
perpendicularidad. Otra de las nociones básicas en los Axiomas de Euclides que
incluyen el concepto de ángulo recto.
Fijemos al vector u ∈ R2 , y para simplificar la notación digámos que u = (a, b) 6=
0. Si tomamos x = (x, y) como un vector variable, vamos a ver que las soluciones de
la ecuación
u·x=0 ,

(1.8)

es decir, los puntos en R2 cuyas coordenadas (x, y) satisfacen la ecuación
ax + by = 0,
forman una recta que es perpendicular a u. Para esto consideraremos una solución
particular (una de las más sencillas), x = −b , y = a ; y será tan importante esta
solución que le daremos nombre:
Definición 1.7.2 El compadre ortogonal del vector u = (a, b), denotado u⊥ y leido
“u—perpendicular” o “u—ortogonal”, es
u⊥ = (−b, a) .
(Se intercambian coordenadas y a la primera se le cambia el signo.)
Se cumple que
u · u⊥ = a(−b) + ba = 0;
y para justificar el nombre hay que mostrar que
u⊥ se obtiene de u al girarlo 90◦ en sentido contrario a las manecillas del reloj (alrededor del oríu^ = (-b,a)
gen). Para ver esto considérese la figura al margen, donde suponemos que el vector u = (a, b)
u = (a,b)
está en el primer cuadrante, es decir, que a > 0 y
b > 0. Al rotar el triángulo rectángulo de catetos
b
a y b (e hipotenusa u) un ángulo de 90◦ en el
a
orígen se obtiene el correspondiente a u⊥ . Se incluyen además las siguientes dos rotaciones para
que quede claro que esto no depende de los signos
(-a,-b)
de a y b.
Podemos concluir entonces que el “compadre
(b,-a)
ortogonal”, pensado como la función de R2 en
R2 que manda al vector u en su perpendicular
u⊥ (u 7→ u⊥ ) es la rotación de 90◦ en sentido
contrario a las manecillas del reloj alrededor del orígen. Es fácil comprobar que
(u⊥ )⊥ = −u, ya sea con la fórmula o porque la rotación de 180◦ (rotar y volver a
rotar 90◦ ) corresponde justo a tomar el inverso aditivo.

1.7. PRODUCTO INTERIOR

45

Como ya es costumbre, veamos algunas propiedades bonitas de la función “compadre ortogonal” respecto a las otras operaciones que hemos definido. La demostración, que consiste en dar coordenadas y aplicar definiciones, se deja al lector.
Lema 1.7.1 Para todos los vectores u, v ∈ R2 , y para todo número t ∈ R se cumple
que
i) (u + v)⊥ = u¡⊥ +¢v⊥
ii)
(t u)⊥ = t u⊥
iii)
u⊥ · v⊥ =
¡ u·v¢
⊥
iv) u · v = − u · v⊥ .

EJERCICIO 1.53 Demuestra el Lema.

Sistemas de ecuaciones lineales II
Usemos la herramienta del producto interior y el compadre ortogonal para revisar
nuestro trabajo previo (Sección 1.6.1) sobre sistemas de dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas. Si pensamos cada ecuación como la coordenada de un vector (y así
fué como surgieron), un sistema tal se escribe
(1.9)

su + tv = c,

donde s y t son las incógnitas y u, v, c ∈ R2 estan dados. Para que este sistema
sea justo el que ya estudiamos, (1.4), denotemos coordenadas u = (a, c), v = (b, d);
y para las constantes (con acrónimo c), digamos que c = (e, f ). Como esta es
una ecuación vectorial, si la multiplicamos (con el producto interior) por un vector,
obtendremos una ecuación lineal real. Y para eliminar a una variable, s digamos,
podemos multiplicar por el compadre ortogonal de u, para obtener
u⊥ · (s u) + u⊥ · (t v)
¡ ⊥
¢
¡
¢
s u · u + t u⊥ · v
¡
¢
s (0) + t u⊥ · v
¢
¡
t u⊥ · v

= u⊥ · c
= u⊥ · c

= u⊥ · c
= u⊥ · c

Definición 1.7.3 El determinante de los vectores u, v ∈ R2 es el número real
det (u, v) := u⊥ · v
Así que si suponemos que det (u, v) 6= 0, podemos despejar t. De manera análoga
podemos despejar s, y entonces concluir que el sistema de ecuaciones tiene solución
única:
t=

u⊥ · c
v⊥ · c
,
s
=
;
u⊥ · v
v⊥ · u

46

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

que es justo el Lema 1.6.1.
EJERCICIO 1.54 Es cribe en coordenadas (u = (a, c), v = (b, d)) cada uno de los pasos
anteriores para ver que corresponden al método clásico de eliminación. (Quizá te conviene
escribir a las parejas como columnas, en vez de renglones, para que el sistema de ecuaciones
sea claro).

La ecuación lineal homogénea
Ahora sí, describamos al conjunto de soluciones de la ecuación lineal homogénea:
u · x = 0.

u
Lu

?

u?

0

Proposicion 1.7.1 Sea u ∈ R2 \ {0}, entonces
ª
©
x ∈ R2 | u · x = 0 = Lu⊥ ,
©
ª
donde, recuérdese, Lu⊥ = t u⊥ | t ∈ R .

Demostración. Tenemos que demostrar la igualdad de dos conjuntos. Esto se hace
en dos pasos que corresponden a ver que cada elemento de un conjunto está también
en el otro.
La contención más fácil es “⊇”. Un elemento de Lu⊥ es de la forma t u⊥ para
algún t ∈ R. Tenemos que demostrar que t u⊥ está en el conjunto de la izquierda.
Para esto hay que ver que satisface la condición de pertenencia, que se sigue de (ii)
en el Lema anterior, y (ii) en el Teorema 1.7.1:
¡
¢
¡ ¢
¡
¢
u · t u⊥ = u · t u⊥ = t u · u⊥ = 0.

Para la otra contención, tomamos x ∈ R2 tal que u · x = 0 y debemos encontrar
t ∈ R tal que x = t u⊥ . Sean a, b ∈ R las coordenadas de u, es decir u = (a, b) y
analogamente, sea x = (x, y). Entonces estamos suponiendo que
ax + by = 0.

Puesto que u 6= 0 por hipótesis, tenemos que a 6= 0 o b 6= 0; y en cada caso podemos
despejar una variable para encontrar el factor deseado:
a 6= 0 ⇒ x = −

by
a

y por lo tanto
x = (x, y) =

³y ´
y
(−b, a) =
u⊥ ;
a
a

1.7. PRODUCTO INTERIOR

47

o bien,
b 6= 0 ⇒ y = −

³ x´
x
ax
⇒ x = (x, y) = − (−b, a) = −
u⊥ .
b
b
b

¤

Hemos demostrado que la ecuación lineal homogénea (se le llama así porque la
constante es 0) ax + by = 0, con a y b constantes reales, tiene como soluciones a
las parejas (x, y) que forman una recta por el origen de R2 . Si empaquetamos la
información de la ecuación en el vector u = (a, b), tenemos que u 6= 0, pues de lo
contrario no habría tal ecuación lineal (sería la tautologia 0 = 0 de lo que estamos
hablando, y no es asi). Pero además hemos visto que el vector u es ortogonal (tambien
llamado normal) a la recta en cuestión, pues ésta esta generada por el compadre
ortogonal u⊥ .
Se justifica entonces la siguiente definición, que era nuestro primer objetivo con el
producto interior (donde de una vez, estamos extrapolando a todas las dimensiones).
Definición 1.7.4 Se dice que dos vectores u y v en Rn son perpendiculares u ortogonales, y se escribe u ⊥ v si u · v = 0 .
Podemos refrasear entonces a la proposición anterior como “dada u ∈ R2 , u 6= 0,
el conjunto de x ∈ R2 que satisfacen la ecuación u · x = 0 son la recta perpendicular
a u”.
Antes de estudiar la ecuación general (no necesariamente homogénea), notemos
que si el producto interior detecta perpendicularidad, también se puede usar para
detectar paralelismo en el plano.
Corolario 1.7.1 Sean u y v dos vectores no nulos en R2 , enonces
ukv

⇔

det (u, v) = u⊥ · v = 0

Demostración. Por la Proposición 1.7.1, u⊥ · v = 0 si y sólo si v pertenece a la
¡ ¢⊥
¡ ¢⊥
¤
recta generada por u⊥ , que es la recta generada por u pues u⊥ = −u.

Hay que hacer notar que si les damos coordenadas a u y a v, digamos u = (a, b)
y v = (c, d), entonces el determinante, que detecta paralelismo, es
u⊥ · v = ad − bc

que ya habíamos encontrado como determinante del sistema de ecuaciones (1.9), pero
tomando a u = (a, c) y v = (b, d).
EJERCICIO 1.55 Dibuja la recta definida como {x ∈ R2 | u · x = 0} para u cada uno de
los siguientes vectores: a) (1, 0), b) (0, 1), c) (2, 1), d) (1, 2), e) (−1, 1).

48

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

EJERCICIO 1.56 Describe el lugar geométrico definido como {x ∈ R3 | u · x = 0} para u
cada uno de los siguientes vectores: a) (1, 0, 0), b) (0, 1, 0), c) (0, 0, 1), d) (1, 1, 0).
EJERCICIO 1.57 Sean u = (a, b) y v = (c, d) dos vectores no nulos. Sin usar el producto
interior ni el compadre ortogonal —es decir, de la pura definición y con “algebrita elemental”—
demuestra que u es paralelo a v si y sólo si ad − bc = 0. Compara con la última parte de
la demostración de la Proposición 1.7.1.

1.8

La ecuación normal de la recta

Demostraremos ahora que todas las rectas de R2 se pueden describir por una ecuación
u · x = c,
donde u ∈ R2 es un vector normal a la recta y la constante c ∈ R es escogida
apropiadamente. Esta ecuación vista en coordenadas, equivale a una ecuación lineal
en dos variables (ax + by = c, al tomar u = (a, b) constante y x = (x, y) el vector
variable). Históricamente, el hecho de que las rectas tuvieran tal descripción fué una
gran motivación en el inicio de la geometría analítica.
Tomemos una recta con dirección d 6= 0

u

` = {p + t d | t ∈ R} .

0

p

d
y

x
`

Si definimos u := d⊥ y c := u · p, afirmamos, es decir, demostraremos, que
©
ª
` = x ∈ R2 | u · x = c .

Llamémos `0 a este último conjunto; demostrar la igualdad ` = `0 ,
equivale a demostrar las dos contenciones ` ⊆ `0 y `0 ⊆ `.
Si x = p + t d ∈ `, entonces (usando las propiedades del producto interior y del
compadre ortogonal) tenemos
u · x = u · (p + t d) = u · p + t(u · d)
= u · p + t(d⊥ · d) = u · p + 0 = c
lo cual demuestra que ` ⊆ `0 . Por el otro lado, dado x ∈ `0 (i.e., tal que u · x = c),
sea y := x − p (obsérvese que entonces x = p + y). Se tiene que
u · y = u · (x − p) = u · x − u · p = c − c = 0
Por la Proposición 1.7.1, esto implica que y es paralelo a u⊥ = −d ; y por tanto que
x = p + y ∈ `. Esto demuestra que ` = `0 .

1.8. LA ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTA

49

En resumen, hemos demostrado que toda recta puede ser descrita por una ecuación
normal:
Teorema 1.8.1 Dada una recta ` = {p + t d | t ∈ R} en R2 . Entonces ` consta de
los vectores x ∈ R2 que cumplen la ecuación u · x = c, que escribimos
`:u·x=c
¤

donde u = d⊥ y c = u · p .
Este Teorema también podría escribirse:
Teorema 1.8.2 Sea d ∈ R2 \ {0} , entonces
©
ª
{p + t d | t ∈ R} = x ∈ R2 | d⊥ · x = d⊥ · p

Estos enunciados nos dicen cómo encontrar una ecuación normal para una recta
descrita paramétricamente. Por ejemplo, la recta
{(s − 2, 3 − 2s) | s ∈ R}
tiene como vector direccional al (1, −2). Por tanto tiene vector normal a su compadre
ortogonal (2, 1), y como pasa por el punto (−2, 3) entonces está determinada por la
ecuación
(2, 1) · (x, y) = (2, 1) · (−2, 3)
2x + y = −1
(sustituya el lector las coordenadas de la descripción paramétrica en esta última
ecuación).
Para encontrar una representación paramétrica de la recta ` dada por una ecuación
normal
`:

u·x = c

(léase “` dada por la ecuación u · x = c”) bastará encontrar una solución particular p
(que es muy fácil porque se puede dar un valor arbitrario a una variable, 0 es la más
conveniente, y despejar la otra), pues sabemos que la dirección es u⊥ (o cualquier
paralelo). Por ejemplo, la recta dada por la ecuación normal
2x − 3y = 2
tiene vector normal (2, −3). Por tanto tiene vector direccional (3, 2) ; y como pasa
por el punto (1, 0) , es el conjunto
{(1 + 3t, 2t) | t ∈ R} .

50

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

Esto también se puede lograr directamente de las coordenadas, pero hay que
partirlo en casos. Si u = (a, b), tenemos
`:

ax + by = c.

Supongamos que a 6= 0. Entonces se puede despejar x:
x=

c
b
− y
a a

y todas las soluciónes de la ecuación se obtienen dando diferentes valores a y; es decir,
son
½µ
¶
¾ ½³
µ
¶
¾
c
b
c ´
b
− y, y | y ∈ R =
,0 + y − ,1 | y ∈ R
a a
a
a
que es una recta con dirección (−b, a). Nos falta ver cuando a = 0, pero entonces la
recta es la horizontal y = c/b. Si hubieramos hecho el análisis cuando b 6= 0, se nos
hubiera confundido la notación de el caso clásico que vemos en el siguiente parrafo.
La ecuación “funcional” de la recta
Es bien conocida la ecuación funcional de la recta:

y = mx + b

b

m
1

y = mx + b
y usada para describir rectas como gráficas de una función; aquí m es la pendiente y b es llamada la “ordenada
al orígen” o el “valor inicial”. En nuestros términos, esta
ecuación se puede reescribir como
−mx + y = b

o bien, como
(−m, 1) · (x, y) = b
Por lo tanto, tiene vector normal n = (−m, 1). Podemos escoger a d = (1, m) = −n⊥
como su vector direccional y a p = (0, b) como una solución particular. Asi que su
parametrización natural es (usando a x como parametro):
{(0, b) + x(1, m) | x ∈ R} = {(x, mx + b) | x ∈ R}
que es la gráfica de una función. Obsérvese que todas las rectas excepto las verticales
(con dirección (0, 1)) se pueden expresar así.

1.8. LA ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTA

51

No está de más observar que para cualquier función f : R → R se obtiene un
subconjunto de R2 , llamado la gráfica de la función f definida paramétricamente
como
{(x, f(x)) | x ∈ R} ;
y entonces hemos visto que todas las rectas, excepto las vérticales, son la gráfica de
funciones de la forma f (x) = mx + b, que en el Capítulo 3 llamaremos funciones
afínes.
EJERCICIO 1.58 Para las siguientes rectas, encuentra una ecuación normal y, en su caso,
su ecuación funcional

a)
b)
c)
d)
e)

{(2, 3) + t(1, 1) | t ∈ R}
{(−1, 0) + s(2, 1) | s ∈ R}
{(0, −2) + (−r, 2r) | r ∈ R}
{(1, 3) + s(2, 0) | s ∈ R}
{(t − 1, −2t) | t ∈ R}

EJERCICIO 1.59 Da una descripción paramétrica de las rectas dadas por las ecuaciones

a)
b)
c)
d)
e)

2x − 3y = 1
2x − y = 2
2y − 4x = 2
x + 5y = −1
3 − 4y = 2x + 2

EJERCICIO 1.60 Encuentra una ecuación normal para la recta que pasa por los puntos

a)
b)
c)
d)

(2, 1) y (3, 4)
(−1, 1) y (2, 2)
(1, −3) y (3, 1)
(2, 0) y (1, 1)

EJERCICIO 1.61 Sean p y q dos puntos distintos en R2 . Demuestra que la recta ` que
pasa por ellos tiene ecuación normal:
`:

(q − p)⊥ · x = q⊥ · p

EJERCICIO 1.62 Encuentra la intersección de las rectas (a) y (b) del segundo ejercicio de
este bloque.
EJERCICIO 1.63 Encuentra la intersección de la recta (α) del primer ejercicio con la de la
recta (α) del segundo, donde α ∈ {a,b,c,d} .
EJERCICIO 1.64 Dibuja las gráficas de las funciones f (x) = x2 y g(x) = x3 .

52

1.8.1

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

Intersección de rectas II

Regresemos ahora al problema teórico de encontrar la intersección de rectas, pero con
la nueva herramienta de la ecuación normal. Consideremos dos rectas `1 y `2 en R2 .
Sean u = (a, b) y v = (c, d) vectores normales a ellas respectivamente, de tal manera
que ambos son no nulos y existen constantes e, f ∈ R para las cuales
`1 :
`2 :

u·x=e
v·x=f .

Es claro entonces que `1 ∩ `2 consta de los puntos x ∈ R2 que satisfacen ambas
ecuaciones. Si llamamos, como de costumbre, x y y a las coordenadas de x (es decir,
si hacemos x = (x, y)), las dos ecuaciones anteriores son el sistema
ax + by = e
cx + dy = f ,
con a, b, c, d, e, f constantes y x, y variables o incógnitas. Este es precisamente el sistema que estudiamos en la Sección ??; aunque allá hablabamos de los “parametros
s y t”, son escencialmente el mismo. Pero ahora tiene el significado geométrico que
anelabamos: resolverlo es encontrar el punto de intersección de dos rectas (sus coordenadas tal cual, y no los parametros para encontrarlo, como antes). Como ya hicimos
el trabajo abstracto de resolver el sistema, sólo nos queda por hacer la traducción
al lenguaje geométrico. Como ya vimos, el tipo de solución (una única, ninguna o
tantas como reales) depende del determinante del sistema ad − bc, y este, a su vez, ya
se nos a pareció (nótese que det (u, v) = u⊥ · v = ad − bc) como el númerito mágico
que detecta paralelismo (Corolario 1.7.1). De tal manera que del Corolario 1.7.1 y
del Teorema 1.6.1 podemos concluir:
Teorema 1.8.3 Dadas las rectas
`1 :
`2 :

u·x = e
v·x=f .

entonces:
i) det (u, v) 6= 0 ⇔ `1 ∩ `2 es un único punto
ii) det (u, v) = 0 ⇔ `1 k `2 ⇔ `1 ∩ `2 = ∅ o `1 = `2
Consideremos con más detenimiento el segundo caso, cuando el determinante u⊥ ·v
es cero y por tanto los vectores normales (y las rectas) son paralelos. Tenemos entonces
que para alguna t ∈ R, se cumple que v = t u (nótese que t 6= 0, pues ambos
vectores son no nulos). La disyuntiva de si las rectas no se intersectan o son iguales
corresponde a que las constantes e y f difieran por el mismo factor, es decir si f 6= t e

1.8. LA ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTA

53

o f = t e respectivamente. Podemos sacar dos conclusiones interesantes. Primero,
dos ecuaciones normales definen la misma recta si y sólo si las tres constantes que
las determinan (en nuestro caso (a, b, e) y (c, d, f )) son vectores paralelos en R3 . Y
segundo, que al fijar un vector u = (a, b) y variar un parametro c ∈ R, las ecuaciones
u · x = c determinan el haz de rectas paralelas que es ortogonal a u.
Otro punto interesante en el que vale la pena recapitular es en el método que
usamos para resolver sistemas de ecuaciones. Se consideraron ciertos múltiplos de
ellas y luego se sumaron. Es decir, para ciertas α y βen
R se obtiene, de las dos ecuaciones dadas, una nueva de la
u
forma
®u+¯v

0
p

(α u + β v) · x = α e + β f .

v

Esta es la ecuación de otra recta. La propiedad importante
que cumple es que si p satisface las dos ecuaciones dadas entonces también satisface a ésta última por las propiedades
de nuestras operaciones. De tal manera que esta nueva
ecuación define una recta que pasa por el punto de intersección p. El método de eliminar una variable consiste en
encontrar la horizontal o la vertical que pasa por el punto (la mitad del problema).
Pero en general, todas las ecuaciones posibles de la forma anterior definen el haz de
rectas concurrentes por el punto de intersección p cuando u y v no son paralelos,
pues los vectores α u + β v (al variar α y β) son más que suficientes para definir todas
las posibles direcciones.
Por último, y aunque hayamos ya demostrado la parte de existencia, concluyamos
con el Quinto usando al Teorema 1.8.3
Teorema 1.8.4 Dada una recta ` y un punto p fuera de ella en el plano, existe una
única recta `0 que pasa por p y no intersecta a `.
Demostración. Existe un vector u 6= 0 y una constante c ∈ R, tales que ` esta dada
por la ecuación u · x = c. Sea
`0 :

u·x = u·p .

Entonces p ∈ `0 porque satisface la ecuación, ` ∩ `0 = ∅ porque u · p 6= c (pues p ∈
/ `),
y cualquier otra recta por p intersecta a ` pues su vector normal no es paralelo a u.
¤

EJERCICIO 1.65 Encuentra la intersección de las rectas (a), (b), (c) y (d) del Ejercicio 59.
EJERCICIO 1.66 Demuestra que dos vectores u y v en R2 son linealmente independientes
si y sólo si u⊥ · v 6= 0.

54

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

EJERCICIO 1.67 Demuestra que dos vectores u y v en R2 son linealmente independientes
si y sólo si R2 = hu, vi.
EJERCICIO 1.68 A cada terna de números reales (a, b, c), asociale la ecuación a x + b y = c.

i) ¿Cuáles son las ternas (como puntos en R3 ) a las que se le asocian rectas en R2
por su ecuación normal?
ii) Dada una recta en R2 , describe las ternas (como subconjunto de R3 ) que se
asocian a ella.
iii) Dado un haz de rectas paralelas en R2 , describe las ternas (como subconjunto
de R3 ) que se asocian a rectas de ese haz.
iv) Dado un haz de rectas concurrentes en R2 , describe las ternas (como subconjunto de R3 ) que se asocian a las rectas de ese haz.

1.8.2

Teoremas de concurrencia

En esta sección, aplicamos la ecuación normal de las rectas
para demostrar uno de los teoremas clásicos de concurrencia
de líneas, dejando el otro como ejercicio.
La altura de un triángulo es la recta que pasa por uno de
sus vértices y es ortogonal al lado opuesto.
Teorema 1.8.5 Las alturas de un triángulo son concurrentes.

c

´b

´a

b
a

´c

Demostración. Dado un triángulo con vértices a, b, c, tenemos que la altura por
el vértice a, llamémosla ηa (“eta-sub-a”), está definida por
ηa :

(c − b) · x = (c − b) · a

pues es ortogonal al lado que pasa por b y c, que tiene dirección (c − b), y pasa por
el punto a. Análogamente:
ηb :
ηc :

(a − c) · x = (a − c) · b
(b − a) · x = (b − a) · c

Obsérvese ahora que la suma (lado a lado) de dos de estas ecuaciones da precisamente el negativo de la tercera. Por ejemplo, sumando las dos primeras obtenemos
(c − b) · x + (a − c) · x = (c − b) · a + (a − c) · b
(c − b + a − c) · x = c · a − b · a + a · b − c · b
(a − b) · x = (a − b) · c
Asi que si x ∈ ηa ∩ η b , entonces cumple las dos primeras ecuaciones y por tanto
cumple su suma que es “menos” la ecuación de ηc , y entonces x ∈ η c . Asi que las
tres rectas pasan por el mismo punto.
¤

1.8. LA ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTA

55

EJERCICIO 1.69 Demuestra que las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes (el
punto en el que concurren se llama circuncentro). Donde la mediatriz de un segmento es
su ortogonal que pasa por el punto medio.
EJERCICIO 1.70 Encuentra el circuncentro del triàngulo con vértices (1, 1), (1, −1) y
(−2, −2). Haz el dibujo del triángulo y sus mediatrices.

1.8.3

Planos en el espacio II

Hemos definido las rectas en Rn por su representación paramétrica y, en R2 , acabamos
de ver que también tienen una representación normal (en base a una ecuación lineal).
Es entonces importante hacer notar que este fenómeno sólo se da en dimensión 2. En
R3 , que es el otro espacio que nos interesa, los planos (¡no las rectas!) son las que se
definen por la ecuación normal. Veamos esto con cuidado.
Dado un vector n ∈ R3 distinto de 0; sea, para cualquier d ∈ R,
Πd :

n·x = d

es decir, Πd := {x ∈ R3 | n · x = d}. Llamamos a la constante d pues ahora el
vector normal es de la forma n = (a, b, c) y entonces la ecuación anterior se escribe
en coordenadas como
ax + by + cz = d
con el vector variable x = (x, y, z). Afirmamos que Πd es un plano. Recuérdese que
definimos plano como el conjunto de combinaciones afínes (o baricéntricas) de tres
puntos no colineales.
Veámos primero que si tres puntos a, b, c satisfacen la ecuación n · x = d, entonces
los puntos del plano que generan también la satisfacen. Para esto, tomamos α, β, γ ∈
R tales que α + β + γ = 1, y entonces se tiene
n · (αa + βb + γc) = α (n · a) + β (n · b) + γ (n · c)
= αd + βd + γd
= (α + β + γ) d = d.
Lo cual demuestra que si a, b, c ∈ Πd entonces el
plano (o si son colineales, la recta) que generan está
contenido en Πd . Faltaría ver que en Πd hay tres
puntos no colineales y luego demostrar que no hay
más soluciones que las del plano que generan.

c
b
a

56

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

Pero mejor veámoslo desde otro punto de vista; el lineal en vez del baricéntrico.Afirmamos que los conjuntos Πd , al variar d son la familia de planos normales
a n. Para demostrar esto, hay que ver que Π0 es un plano
por el orígen y que Πd es un transladado de Π0 , es decir, Π0
n
empujado por algún vector constante.
Esto último ya se hizo en escencia cuando vimos el caso de
rectas en el plano, asi que lo veremos primero para remarcar
lo general de aquella demostración. Supongamos que p ∈ R3
es tal que
n·p=d
es decir, que es una solución particular. Vamos a demostrar que
Πd = Π0 + p := {y + p | y ∈ Π0 } ;

(1.10)

es decir, que si x ∈ Πd entonces x = y + p para algún y ∈ Π0 , y al revés, que si
y ∈ Π0 entonces x = y + p ∈ Πd .
Dado x ∈ Πd (i.e., tal que n · x = d), sea y := x − p. Como
n · y = n · (x − p) = n · x − n · p = d − d = 0 ,
d

p

x

n

n · x = n · (y + p) = n · y + n · p = 0 + d = d

n
y
0

entonces y ∈ Π0 y es, por definición, tal que x = y+p
; por lo tanto Πd ⊆ Π0 + p. Y al revés, si y ∈ Π0 y
x = y + p, entonces

y por lo tanto x ∈ Πd . Hemos demostrado (1.10).
Nos falta ver que Π0 es efectivamente un plano por
el origen. Puesto que estamos suponiendo que n 6= 0
entonces de la ecuación
ax + by + cz = 0

se puede despejar alguna variable en términos de las otras 2; sin perdida de generalidad, digamos que es z, es decir, que c 6= 0. De tal forma que al dar valores arbitrarios
a x y y, la fórmula nos da un valor de z, y por tanto un punto x ∈ R3 que satisface la
condición original n · x = 0 —esto equivale a parametrizar las soluciones con R2 ; con
dos grados de libertad. En particular hay una solución u con x = 1 y y = 0 (a saber,
u = (1, 0, −a/c)) y una solución v con x = 0 y y = 1 (¿cuál es?). Como claramente
los vectores u y v no son paralelos (tienen ceros en coordenadas distintas), generan
linealmente todo un plano de soluciones (pues para cualquier s, t ∈ R, se tiene que
n · (s u + t v) = s ( n · u) + t (n · v) = 0). Falta ver que no hay más soluciones que
las que hemos descrito, pero esto se lo dejamos al estudiante en el siguiente ejercicio,
que hay que comparar con este parrafo para entender como se llegó a su elegante
planteamiento.

1.9. NORMA Y ÁNGULOS

57

EJERCICIO 1.71 Sea n = (a, b, c) tal que a 6= 0. Demuestra que
©
ª
x ∈ R3 | n · x = 0 = { s (−b, a, 0) + t (−c, 0, a) | s, t ∈ R}

EJERCICIO 1.72 Describe el plano en R3 dado por la ecuación x + y + z = 1.

* EJERCICIO 1.73 Sea n un vector no nulo en Rn .

a) Demuestra que V0 := {x ∈ Rn | n · x = 0} es un subespacio vectorial de Rn ; es decir, que
la suma de vectores en V0 se queda en V0 y que el “alargamiento” de vectores en V0 también
está en V0 .
b) Demuestra que para cualquier d ∈ R, el conjunto Vd := {x ∈ Rn | n · x = d} es un
trasladado de V0 ; es decir, que existe un p ∈ Rn tal que Vd = V0 + p = {y + p | y ∈ V0 }.
c) ¿Qué dimensión dirías que tiene Vd ? Argumenta un poco tu respuesta.

1.9

Norma y ángulos

Del producto interior, obtendremos la noción de norma o magnitud de los vectores,
que corresponde a la distancia del punto al orígen.
Definición 1.9.1 Dado un vector v ∈ Rn , su norma (o magnitud) es el número real:
√
|v| := v · v ,
de tal manera que la norma es una función | | : Rn → R.
Como v · v ≥ 0, Teorema 1.7.1, tiene sentido tomar su raiz cuadrada (que a su
vez se define como el número positivo tal que al elevarlo al cuadrado nos da el dado).
Se tiene entonces la siguiente fórmula que es una definición equivalente de la norma
y que será usada con mucho más frecuencia
|v|2 = v · v .
En R2 la norma se escribe, con coordenadas v = (x, y),
como

x = (x,y)
j
jx

x

|v|2 = x2 + y 2 .
Entonces |v| corresponde a la distancia euclidiana del orígen al punto v = (x, y), pues
de acuerdo al Teorema de Pitágoras, x y y son lo que miden los catetos del triángulo
rectángulo con hipotenusa v. Aquí es donde resulta importante (por primera vez)
que los ejes coordenados se tomen ortogonales, pues entonces la fórmula para calcular
la distancia euclidiana al origen a partir de las coordenadas se hace sencilla.

y

58

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO
En R3 , con coordenadas v = (x, y, z), la norma se escribe
|v|2 = x2 + y 2 + z 2

z

que de nuevo, usando dos veces el Teorema de Pitágoras (en
los triángulos de la figura) y que la nueva dirección z es ortogonal al plano x, y , corresponde a la magnitud del vector v.
x
Demostremos primero el Teorema de Pitágoras para vectores en general. Este Teorema fué la motivación básica para
la definición de norma; sin embargo su uso ha sido sólo ese:
como motivación, no lo hemos usado formalmente sino para ver que la norma corresponde a la noción euclidiana de distancia al origen (magnitud de vectores) cuando
los ejes se toman ortogonales entre si. Ahora veremos que al estar en el trasfondo de
nuestras definiciones, estas le hacen honor convirtiéndolo en verdadero.
y

v

ju-vj

u

Teorema 1.9.1 (Pitágoras) Sean u y v dos vectores en Rn .
Entonces son perpendiculares si y sólo si

jvj

|u|2 + |v|2 = |u − v|2 .

juj
0

Demostración. De las propiedades del producto interior (y la definición de norma)
se obtiene
|u − v|2 =
=
=
=

(u − v) · (u − v)
u·u+v·v−u·v−v·u
u · u + v · v − 2 (u · v)
|u|2 + |v|2 − 2 (u · v)

Por definición, u y v son perpendiculares si y sólo si u · v = 0 y entonces el teorema
se sigue de la igualdad anterior.
¤
Asi que nuestra definición de perpendicularidad (que el producto punto se anule)
corresponde a que el Teorema de Pitágoras se vuelva cierto. Y entonces nuestra
manera informal de llamar, en R3 , a las soluciones de la ecuación u · x = 0 “el plano
normal a u”, ahora tiene sentido. Pues por el Teorema anterior, u · x = 0 si y sólo si
los vectores u y x son los catetos de un triángulo que cumple el Teorema de Pitágoras
y por tanto es rectángulo.
Las propiedades básicas de la norma se resumen en el siguiente teorema.
Teorema 1.9.2 Para todos los vectores v, u ∈ Rn y para todo número real t ∈ R se
tiene que:

1.9. NORMA Y ÁNGULOS

59

i.
|v| ≥ 0
ii. |v| = 0 ⇔ v = 0
iii.
| t v | = |t| |v|
iv. |u| + |v| ≥ |u + v|
v.
|u| |v| ≥ |u · v|
Demostración. La primera afirmacion es consecuencia inmediata de la definición
de raiz cuadrada, y la segunda del Teorema ??. La tercera, donde también se usa ese
teorema, es muy simple pero con una sutileza:
| t v |2 = (tv) · (tv) = t2 (v · v) = t2 |v|2
√
de donde, tomando raiz cuadrada, se deduce | t v | = |t| |v|. Pues t2 no siempre√es t
sino su valor absoluto |t| que es positivo siempre
(y que podría definirse |t| := t2 );
q

nótese además que como |v| ≥ 0 entonces |v|2 = |v|. Obsérvese que para n = 1 (es
decir, en R) la norma y el balor absoluto coinciden, asi que usar la misma notación
para ambos no causa ningún conflicto.
El inciso (iv) es conocido como “la desigualdad del triángulo”, pues dice que
en el triángulo con vértices 0, u y u + v, es más corto irse directamente de 0 a
u + v (|u + v|) que pasar primero por u (|u| + |v|). Para
demostrarla, nótese primero que como ambos lados de la
jvj
desigualdad son no negativos, entonces está es equivalente
a que la misma desigualdad se cumpla para los cuadrados,
u
i.e.,
vj
+
ju

|u| + |v| ≥ |u + v|

⇔

juj

(|u| + |v|)2 ≥ |u + v|2 .

Y está última desigualdad es equivalente a que (|u| + |v|)2 −
|u + v|2 ≥ 0. Así que debemos desarrollar el lado izquierdo:

v

0

(|u| + |v|)2 − |u + v|2 = (|u| + |v|)2 − (u + v) · (u + v)
= |u|2 + |v|2 + 2 |u| |v| − (u · u + v · v + 2 (u · v))
= 2(|u| |v| − (u · v)) .
Queda entonces por demostrar que |u| |v| ≥ (u · v), pero esto se sigue del inciso (v),
que es una afirmación más fuerte que demostraremos a continuación independientemente.

u+v

60

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

El inciso (v) es conocido como “la desigualdad de Schwartz”. Por un razonamiento análogo al del inciso anterior, bastará demostrar que (|u| |v|)2 − |u · v|2 es
positivo. Lo haremos para R2 con coordenadas, dejando el caso de R3 , y de Rn, como
ejercicios. Supongamos entonces que u = (a, b) y v = (α, β) para obtener
|u|2 |v|2 − |u · v|2 =

¡ 2
¢¡
¢
a + b2 α2 + β 2 − (aα + bβ)2

= a2 α2 + b2 β 2 + a2 β 2 + b2 α2
¡
¢
− a2 α2 + b2 β 2 + 2aαbβ
= a2 β 2 − 2 (aβ) (bα) + b2 α2
= (aβ − bα)2 ≥ 0 ;

donde la última desigualdad es porque el cuadrado de cualquier número es no negativo.
Lo cual demuestra la desigualdad de Schwartz, la del Triángulo y completa al Teorema.
¤

EJERCICIO 1.74 Demuestra que dos vectores u y v son perpendiculares si y sólo si
|u + v|2 = |u|2 + |v|2 . Haz el dibujo.
EJERCICIO 1.75 Demuestra que dos vectores u y v son perpendiculares si y sólo si |u + v| =
|u − v|. Haz el dibujo. Observa que este enunciado corresponde a que un paralelogramo es
un rectángulo si y sólo si sus diagonales miden lo mismo.
EJERCICIO 1.76 Sean u y v dos vectores no nulos. Demuestra que tienen la misma norma
si y sólo si u + v y u − v son ortogonales.
EJERCICIO 1.77 Demuestra la desigualdad de Schwartz en R3 . ¿Puedes dar, o describir,
la demostración en Rn ?

1.9.1

El círculo unitario

e2

S1
0

e1

A los vectores que tienen norma igual a uno, se les llama vectores
unitarios. Y al conjunto de todos los vectores unitarios en R2 se le
llama el círculo unitario y se le denota S1 . La notación viene de la
palabra “sphere” en ingles, que significa esfera; pues en general se
puede definir a la esfera de dimensión n como
Sn =

©

x ∈ Rn+1 | |x| = 1

ª

.

1.9. NORMA Y ÁNGULOS

61

Nótese que el exponente se refiere a la dimensión de la
esfera en sí, y que ésta necesita una dimensión más para
S2
“vivir”. Así, la esfera de dimensión 2 vive en R3 , y es la representación abstracta de las pompas de jabón. Más adelante
la estudiaremos con cuidado. Por lo pronto nos interesa el
círculo unitario.
Los puntos de S1 corresponden a los ángulos, y a estos
los mediremos con radianes. La definición formal o muy precisa de ángulo involucra necesariamente nociones de cálculo
que no entran en este libro. Sin embargo, es un concepto
muy intuitivo y de esa intuición nos valdremos. Un ángulo
es un sector radial del círculo unitario, aunque se denota
gráficamente como un arco chiquito cerca del centro para indicar que no depende
realmente del círculo de referencia, es más bien un sector de cualquier círculo concéntrico. Es costumbre partir el círculo completo en 360 sectores
iguales llamados grados. Resulta conveniente usar el número 360,
pues como 360 = 23 32 5 tiene muchos divisores, asi que el círculo se
puede partir en cuatro sectores iguales de 90 grados (denotado 90◦
y llamado ángulo recto) o en 12 de 30◦ que corresponden a las horas
del reloj, etc. Pero la otra manera de medirlos, que no involucra la
convención de escoger 360 para la vuelta entera, es por la longitud
del arco de círculo que abarcan; a esta medida se le conoce como
radianes. Un problema clásico que resolvieron los griegos con admirable precisión fué
medir la circunferencia del círculo unitario (de radio uno), es decir, cuanto mide un
hilo “untado” en el círculo. El resultado, como todos sabemos, es el doble del famoso
número π = 3.14159..., donde los puntos suspensivos indican que su expresión decimal
sigue infinitamente pues no es racional. Otra manera de entender a los radianes es
cinemática y es la que usaremos a continuación para establecer notación; es la versión
teórica del movimiento de la piedra en una honda justo antes de lanzarla.
Si una particula viaja dentro de S1 a velocidad constante 1, partiendo del punto
e1 = (1, 0) y en dirección contraria a las manecillas del reloj (es decir, saliendo
hacía arriba con vector velocidad e2 = (0, 1)) entonces en un tiempo θ estará en
un punto que llamaremos u (θ); en el tiempo π/2 estará en el e2 = (0, 1) (es decir,
u (π/2) = e2 ), en el tiempo π en el (−1, 0) y en el 2π estará de regreso
para empezar de nuevo. El tiempo aquí, que estamos midiendo con el
u(µ)
parametro θ, corresponde precisamente a los radianes, pues viajando
µ
a velocidad constante 1 el tiempo es igual a la distancia recorrida.
Podemos también darle sentido a u (θ) para θ negativa pensando
que la particula viene dando vueltas desde siempre (tiempo infinito
negativo) de tal manera que en el tiempo 0 pasa justo por e1 , es
decir, que
u (0) = (1, 0).