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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

EJERCICIO 1.7 ¿Puedes dar las coordenadas de los vértices de un triángulo equilatero
centrado en el origen? Dibújalo. (Usa de nuevo al Teorema de Pitágoras, en un triángulo
rectángulo con hipotenusa 2 y un cateto 1).

1.2.2

z

El espacio de dimensión n

La posibilidad de extender con paso firme la geometría euclidiana a más de dos
dimensiones es una de las aportaciones de mayor profundidad del método cartesiano.
Aunque nos hayamos puesto formales en la sección anterior para demostrar una
correspondencia natural entre E2 y R2 , intuitivamente es muy simple. Al fijar los dos
ejes coordenados –las dos direcciones preferidas– se llega
de manera inequivoca a cualquier punto en el plano dando
las distancias que hay que recorrer en esas direcciones para
y
llegar a él. En el espacio, habrá que fijar tres ejes coordenadas y dar tres numeritos. Los dos primeros dan un punto
(x,y,z)
en el plano (que podemos pensar horizontal, como el piso),
y el tercero nos da la altura (que puede ser positiva o negaz
tiva). Si denotamos por R3 al conjunto de todas las ternas
x
y
(x, y, z) de números reales, como estas corresponden a puntos en el espacio una vez que se fijan los tres ejes, podemos
x
definir al espacio euclidiano de tres dimensiones como R3 , sin
preocuparnos de axiomas. ¿Y porqué pararse en 3? ¿o en 4?
Dado un número natural n ∈ {1, 2, 3, . . . }, denotamos por Rn al conjunto de todas
las n-adas (léase “eneadas”) ordenadas de números reales (x1 , x2 , . . . , xn ). Formalmente,
Rn := {(x1 , x2 , . . . , xn ) | xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n} .
Para valores pequeños de n, se pueden usar letras x, y, z e inclusive w para denotar
las coordenadas; pero para n general esto es imposible y no nos queda más que
usar los subindices. Asi, tenemos un conjunto bien definido, Rn , al que podemos
llamar “espacio euclidiano de dimensión n”, y hacer geometría en él. A una n-ada
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn se le llama vector o punto.
El estudiante que se sienta incómodo con esto de muchas dimensiones, puede sustituir (pensar en) un 2 o un 3 siempre que se se use n y referirse al plano o al espacio
tridimensional que habitamos para su intuición. No pretendemos en este libro estudiar la geometría de estos espacios de muchas dimensiones. Nos concentraremos en
dimensiones 2 y 3, así que puede pensarse a la n como algo que puede tomar valores
2 o 3 y que resulta muy útil para hablar de los dos al mismo tiempo pero en singular. Sin embargo, es importante que el estudiante tenga una visión amplia y pueda
preguntarse en cada momento ¿qué pasaría en 4 o más dimensiones? Como verá, y
a veces señalaremos explicitamente, algunas cosas son muy fáciles de generalizar, y