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2 geometria analitica apuntes.pdf


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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

como distancias), y entonces problemas geométricos (y físicos) pueden atacarse y
entenderse manipulando números.
El segundo paso para identificar los puntos del plano euclidiano con parejas de
números hace uso esencial del quinto postulado. Tómense dos rectas `1 y `2 en el plano
E2 que se intersecten en un punto o que será el origen. Orientamos las rectas para que
sus puntos correspondan a números reales como arriba. Entonces a cualquier punto
p ∈E2 se le puede hacer corresponder una pareja de números de la siguiente forma.
Por el Quinto, existe una única recta `01 que pasa por p y es
0
paralela a `1 ; y análogamente, existe una única recta `02 que
`2
`2
pasa por p y es paralela a `2 . Las intersecciones `1 ∩`02 y `2 ∩`01
0
p
`1
determinan los puntos p1 ∈ `1 y p2 ∈ `2 , respectivamente, y
p2
por tanto, determinan dos números reales x y y; es decir, una
pareja ordenada (x, y). Y al revés, dada la pareja de números
`1
y
(x, y), tómense p1 como el punto que está sobre `1 a distancia
p1
x de o, y p2 como el punto que está sobre `2 a distancia y de
0
x
o (tomando en cuenta signos, por supuesto). Sea `01 la recta
que pasa por p2 paralela a `1 y sea `02 la recta que pasa por
p1 paralela a `2 (¡acabamos de usar de nuevo al Quinto!). La intersección `01 ∩ `02 es
el punto p que corresponde a la pareja (x, y).
La generalidad con que hicimos el razonamiento anterior
fué para hacer explicito el uso del quinto postulado en el ra`2
zonamiento clásico de Descartes, pero no conviene dejarlo tan
p =(x,y)
ambiguo. Es costumbre tomar a las rectas `1 y `2 ortogonales:
a `1 horizontal con su dirección positiva a la derecha (como
y
vamos leyendo), conocida tradicionalmente como el eje de las
x; y a `2 vertical con dirección positiva hacia arriba, el famoso
`1
x
0
eje de las y. No sólo por costumbre se utiliza esta convención, sino que simplifica el álgebra asociada a la geometría
clásica. Por ejemplo, permitirá usar el teorema de Pitágoras
para calcular facilmente las distancias a partir de las coordenadas. Pero esto se verá
más adelante.
En resumen, al fijar los ejes coordenados, a cada pareja de números (x, y) le
corresponde un punto p ∈ E2 , pero iremos más allá y los identificaremos diciendo
p = (x, y). Además, se le puede hacer corresponder la flechita
(segmento de recta dirigido llamado vector) que ‘nace’ en el origen
(x,y)
y termina en el punto. Así, las siguientes interpretaciones son
equivalentes y se usarán de manera indistinta a lo largo de todo
el libro.
a. Un punto en el plano.
0
b. Una pareja de números reales.
c. Un vector que va del origen al punto.
Nótese que si bien en este texto las palabras punto y vector son equivalentes,