1.2. PUNTOS Y PAREJAS DE NÚMEROS

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tienen diferentes conotaciones. Mientras que un punto es pensado como un lugar
(una posición) en el espacio, un vector es pensado como un segmento de línea dirigido
de un punto a otro.
El conjunto de todas las parejas ordenadas de números se denota por R2 = R × R.
En este caso el exponente 2 sí se refiere a exponenciación, pero de conjuntos, lo que se
conoce ahora como el Producto Cartesiano en honor de Descartes (véase el Apéndice);
aunque la usanza común es leerlo “R dos”.

1.2.1

Geometría Analítica

La idea genialmente simple R2 = E2 (es decir, las parejas de números reales se identifican naturalmente con los puntos del plano euclidiano) logra que converjan las aguas
del álgebra y la geometría. A partir de Descartes se abre la posibilidad de reconstruir
la geometría de los griegos sobre la base de nuestra intuición númerica (básicamente
la de sumar y multiplicar). Y a su vez, la luz de la geometría baña con significados
y problemas al álgebra. Se hermanan, se apoyan, se entrelazan: nace la geometría
analítica.
De aquí en adelante, salvo en contadas ocaciones donde sea inevitable y como
comentarios, abandonaremos la linea del desarrollo histórico. De hecho, nuestro
tratamiento algebráico está muy lejos del original de Descartes, pues usa ideas desarrolladas en el Siglo XIX. Pero antes de entrar de lleno a él, vale la pena enfatizar
que no estamos abandonando el método axiomático iniciado por Euclides, simplemente cambiaremos de conjunto de axiomas: ahora nos basaremos en los axiomas de
los números reales (ver la Observación que sigue al Teorema 1.3.1). De tal manera
que los objetos primarios de Euclides (línea, segmento, distancia, ángulo, etc.) serán
definiciones (por ejemplo, punto ya es “pareja ordenada de números” y plano es el
conjunto de todos los puntos), y los cinco postulados serán teoremas que hay que demostrar. Nuestros objetos primarios básicos serán ahora los números reales y nuestra
intuición geométrica primordial es que forman una recta: La Recta Real, R. Sin embargo, la motivación básica para las definiciones sigue siendo la intuición geométrica
desarrollada por los griegos. No queremos hacernos los occisos como si no conocieramos a la geometría griega; simplemente la llevaremos a nuevos horizontes con el
apoyo del álgebra –el enfoque analítico– y para ello tendremos que reconstruirla.
EJERCICIO 1.3 Encuentra diferentes puntos en el plano dados por sus coordenadas (por
ejemplo, el (3, 2), el (−1, 5), el (0, −4), el (−1, −2)„ el (1/2, −3/2)).

EJERCICIO 1.4 Identifica los cuadrantes donde las parejas tienen signos determinados.

EJERCICIO 1.5 ¿Cúales son las coordenadas de los vértices de un cuadrado de lado 2,
centrado en el origen y con lados paralelos a los ejes?
EJERCICIO 1.6 ¿Cúales son las coordenadas de los vértices del octágono
regular que incluye como vertices a los del cuadrado anterior? (Tienes que
usar al Teorema de Pitágoras.)