Caja PDF

Comparta fácilmente sus documentos PDF con sus contactos, la web y las redes sociales.

Compartir un archivo PDF Gestor de archivos Caja de instrumento Buscar PDF Ayuda Contáctenos



2 geometria analitica apuntes.pdf


Vista previa del archivo PDF 2-geometria-analitica-apuntes.pdf

Página 1 2 345210

Vista previa de texto


1.2. PUNTOS Y PAREJAS DE NÚMEROS

b

2

c

a

2

2

15

Aunque la demostración anterior (hay otras) parece
no usar nada, queda implicito el uso del quinto postulado; pues, por ejemplo, en el primer cuadrado, que el
cuadradito interno de lado c tenga ángulo recto usa su
versión V.b. Además, hace uso de nuevos conceptos
como son el área y cómo calcularla; en fin, hace uso
de nuestra intuición geométrica, que debemos creer y
fomentar. Pero vayamos a lo nuestro.

*EJERCICIO 1.1 Demostrar la equivalencia de V, V.a y V.b. Aunque no muy formalmente
(como en nuestra demostración de Pitágoras), convencerse con dibujos de que tienen todo
que ver entre ellos.
EJERCICIO 1.2 Demuestra el Teorema de Pitágoras ajustando (sin que se traslapen) cuatro
copias del triángulo en un cuadrado de lado c y usando que (b−a)2 = b2 −2ab+a2 , (estamos
suponiendo que a < b, como en la figura anterior).

1.2

o

Puntos y parejas de números

Para reinterpretar el razonamiento que hizo Descartes, supongamos por un momento
que conocemos bien al Plano Euclidiano definido por los cinco axiomas de los Elementos; es el conjunto de puntos que se extiende indefinidamente a semejanza de
un pizarrón, un papel, un piso o una pared y viene acompañado de nociones como
rectas y distancia, entre otras; y en el cual se pueden demostrar teoremas como el de
Pitágoras. Denotaremos por E2 a este plano; en este caso el exponente 2 se refiere a
la dimensión y no es exponenciación (no es “E al cuadrado”, sino que debe leerse “E
dos”). Da la idea de que puede haber espacios euclidianos de cualquier dimensión En
(léase “E ene”), aunque sería complicado definirlos axiomáticamente. De hecho los
definiremos pero de una manera más simple que es usando coordenadas: la idea genial
de Descartes. Podríamos ahora, apoyados en el lenguaje moderno de los conjuntos,
recrear su razonamiento como sigue.
El primer paso es notar que los puntos de una recta ` ⊂ E2 corresponden biunivocamente a los números reales, que se denotan por R. Escogemos un
p
punto o ∈ ` que se llamará el origen y que corresponderá al número
`
cero. El origen parte a la recta en dos mitades; a una de ellas se le
x
asocian los números positivos de acuerdo a su distancia al origen,
y a la otra mitad los números negativos. Así, a cada número real x
se le asocia un punto p en `, y a cada punto en ` le corresponde un número real.
De esta identificación natural surge el nombre de “recta de los números reales”
y todo el desarrollo ulterior de la Geometría Analítica, e inclusive del Cáculo. Los
números tienen un significado geométrico (los griegos lo sabían bien al entenderlos