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2 geometria analitica apuntes.pdf


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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

la noción intuitiva que se tiene de ellos y haciendo explicitas ciertas relaciones básicas
que deben cumplir.
De estos postulados o axiomas, el quinto es el más famoso pues se creía que
podría deducirse de los otros. Es más sofisticado, y entonces se pensó que debía
ser un Teorema, es decir, ser demostrable. De hecho, un problema muy famoso
fué ese: demostrar el quinto postulado usando unicamente a los otros cuatro. Y
muchísimas generaciones de matemáticos lo atacaron sin exito. No es sino hasta el
siglo XIX, y para la sorpresa de todos, que se demuestra que no se puede demostrar;
que efectivamente hay que suponerlo como axioma, pues negaciones de él dan origen
a “nuevas geometrías”, tan lógicas y bien fundamentadas como la euclidiana. Pero
esta historia se vera más adelante (en los Capítulos 6 y 8) pues por el momento nos
interesa introducir a la geometría analítica.
La publicación de la “Geometrie” de Descartes (1596—1650) marca una revolución
en las matemáticas. La introducción del álgebra a la solución de problemas de índole geométrico desarrolló una nueva intuición y con ésta, un nuevo entender de la
naturaleza de las “Linges Courves”.
Para comprender lo que hizo Descartes, se debe tener más familiaridad con el
quinto postulado. Además del enunciado original, hay otras dos versiones que son
equivalentes:
V.a (El Quinto) Dada una línea recta y un punto fuera de ella, existe una única
recta que pasa por el punto y que es paralela a la línea.
V.b Los ángulos interiores de un triángulo suman dos ángulos rectos.
De las tres versiones que hemos dado del quinto postulado de Euclides, usaremos
a lo largo de este libro a la V.a, a la cual nos referiremos simplemente como “El
Quinto”.
Antes de entrar de lleno a la Geometría Analítica demostremos, a manera de homenaje a los griegos y con sus métodos, uno de sus teoremas más famosos e importantes.

c

a
b

Teorema 1.1.1 (Pitágoras). Dado un triángulo rectángulo, si los lados
que se encuentran en un ángulo recto (llamados catetos) miden a y b, y el
tercero (la hipotenusa) mide c, entonces
a2 + b2 = c2 .

Demostración. Considérese un cuadrado de lado a + b, y colóquense en él cuatro
copias del triángulo de dos maneras diferentes como en la figura. Las areas que quedan
fuera son iguales.
¤