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v
0

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

La suma vectorial corresponde geométricamente a la regla del
paralelogramo
usada para encontrar la resultante de dos vectores.
u+ v
Esto es, se piensa a los vectores como segmentos dirigidos que salen
del origen, generan entonces un paralelogramo, y el vector que va
del origen a la otra esquina es la suma. También se puede pensar
como la acción de dibujar un vector tras otro, pensando que los
u
vectores son segmentos dirigidos que pueden moverse paralelos a si
mismos.
Definición 1.3.2 Dados un vector u = (x, y)∈ R2 y un número t ∈ R se define la multiplicación escalar t u como el vector que resulta de
multiplicar cada coordenada del vector por el número:
tu
u
0 x

ty

y

t u := (t x, t y) .

tx

Nótese que en cada coordenada, la multiplicación que se usa es
la de los números reales.

u
-u

0

2u

3u

La multiplicación escalar corresponde a la dilatación, contracción y/o posiblemente al cambio de dirección de un vector.
Veamos. Es claro que
2u = (2x, 2y) = (x + x, y + y) = u + u ,

así que 2u es el vector “u seguido de u” o bien, “u dilatado a su doble”. De la misma
manera que 3u es un vector que apunta en la misma dirección pero de tres veces su
tamaño. O bien, es fácil deducir que ( 12 )u, como punto, esta justo a la mitad del
camino del origen 0 = (0, 0) a u. Así que t u para t > 1 es, estrictamente hablando,
una dilatación de u, y para 0 < t < 1 una contracción del mismo. Por último, para
t < 0, t u apunta en la dirección contraria ya que, en particular, (−1)u =: −u es el
vector que, como segmento dirigido, va del punto u al 0 (puesto que u+ (−u) = 0) y
el resto se obtiene como dilataciones o contracciones de −u.
No está de más insistir en una diferencia escencial entre las dos operaciones que
hemos definido. Si bien, la suma vectorial es una operación que de dos ejemplares de la
misma especie (vectores) nos da otro de ellos; la multiplicación escalar involucra a dos
objetos de diferente índole, por un lado al “escalar”, un número real, y por el otro a un
vector, dando como resultado un nuevo vector. Los vectores no se multiplican (por
el momento), solo los escalares (los números reales) saben multiplicarlos (pegarles,
podría decirse) y les cambián con ello su “escala”.
EJERCICIO 1.8 Sean v1 = (2, 3), v2 = (−1, 2), v3 = (3, −1) y v4 = (1, −4).
i).- Calcula y dibuja: 2v1 − 3v2 ; 2(v3 − v4 ) − v3 + 2v4 ; 2v1 − 3v3 + 2v4 .
ii).- ¿Qué vector x ∈ R2 cumple que 2v1 + x = 3v2 ; 3v3 − 2x = v4 + x ?
iii).- ¿Puedes encontrar r, s ∈ R tales que r v2 + s v3 = v4 ?