1.3. EL ESPACIO VECTORIAL R2

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EJERCICIO 1.9 Dibuja el origen y tres vectores cualesquiera u, v y w en un papel. Con
un par de escuadras encuentra los vectores u + v, v + w y w + u.
EJERCICIO 1.10 Dibuja el origen y dos vectores cualesquiera u, v en un papel. Con regla
(escuadras) y compás, encuentra los puntos (1/2) u + (1/2) v, 2u − v, 3u − 2v, 2v − u.
¿Resultan colineales?
EJERCICIO 1.11 Describe el lugar geométrico definido por Lv := {t v | t ∈ R}.

Estas definiciones se extienden a Rn de manera natural. Dados dos vectores x =
(x1 , . . . , xn ) y y = (y1 , . . . , yn ) en Rn y un número real t ∈ R, defínanse la suma
vectorial (o simplemente la suma) y el producto escalar como sigue
x + y := (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) ,
t x := (t x1 , . . . , t xn ) .
Es decir, la suma de dos vectores (con el mismo número de coordenadas) se obtiene
sumando coordenada a coordenada y el producto por un escalar (un número) se
obtiene multiplicando a cada coordenada por ese número.
Las propiedades básicas de la suma vectorial y la multiplicación escalar se reunen
en el siguiente teorema, donde el vector 0 = (0, . . . , 0) es llamado vector cero que
corresponde al origen; y, para cada x ∈ Rn, el vector −x := (−1)x se llama inverso
aditivo de x.
Teorema 1.3.1 Para todos los vectores x, y, z ∈ Rn y para todos los números s, t ∈ R
se cumple que:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)

1.3.1

(x + y) + z = x + (y + z)
x+y =y+x
x+0=x
x + (−x) = 0
s(t x) = (st)x
1x = x
t (x + y) = t x + t y
(s + t) x = s x + t x

¿Teorema o Axiomas?

Antes de pensar en demostrar el teorema anterior, vale la pena reflexionar un poco
sobre su carácter pues está muy cerca de ser un conjunto de axiomas y es sútil qué
quiere decir eso de demostrarlo.
Primero, debemos observar que Rn tiene sentido para n = 1, es simplemente una
manera rimbombante de referirse a los números reales. Así que del Teorema anterior,