1.3. EL ESPACIO VECTORIAL R2

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Demostración. (del Teorema1.3.1) Formalmente solo nos interesa demostrar el
teorema para n = 2, 3, pero escencialmente es lo mismo para cualquier n. La demostración de cada inciso es muy simple, tanto así que hasta confunde, consiste en
aplicar el axioma correspondiente que cumplen los números reales coordenada a coordenada y la definición de las operaciones involucradas. Sería muy tedioso, y aportaría
muy poco al lector, demostrar los ocho incisos, así que sólo demostraremos con detalle
el primero para R2 , dejando los demas y el caso general como ejercicio.
i). Sean x, y, z ∈ R2 , entonces x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) y z = (z1 , z2 ), donde
cada xi , yi y zi (i = 1, 2) son números reales (nótese que conviene usar subindices con
la misma letra que en negritas denota al vector). Tenemos entonces de la definición
de suma vectorial que
(x + y) + z = (x1 + y1 , x2 + y2 ) + (z1 , z2 )
y usando nuevamente la definición se obtiene que esta última expresión es
= ((x1 + y1 ) + z1 , (x2 + y2 ) + z2 ) .
Luego, como la suma de números reales es asociativa (el axioma correspondiente de
los números reales usado coordenada a coordenada) se sigue
= (x1 + (y1 + z1 ), x2 + (y2 + z2 )) .
Y finalmente, usando dos veces la definición de suma vectorial, se obtiene
= (x1 , x2 ) + (y1 + z1 , y2 + z2 )
= (x1 , x2 ) + ((y1 , y2 ) + (z1 , z2 ))
= x + (y + z)
lo que demuestra que (x + y) + z = x + (y + z); y entonces tiene sentido escribir
x + y + z.
¤
Se conoce como espacio vectorial a un conjunto en el que están definidas dos operaciones (suma vectorial y multiplicación escalar) que cumplen con las ocho propiedades
del Teorema 1.3.1. De tal manera que este teorema puede parafrasearse “Rn es un
espacio vectorial”. ¿Podría el lector mencionar un espacio vectorial distinto de Rn ?
EJERCICIO 1.12 Usando los axiomas de los números reales, asi como las definiciones de
suma vectorial y producto escalar, demuestra algunos incisos del Teorema 1 para el caso
n = 2 y n = 3. ¿Verdad que lo único que cambia es la longitud de los vectores, pero los
argumentos son exactamente los mismos? Demuestra (aunque sea mentalmente) el caso
general.
EJERCICIO 1.13 Demuestra que si a ≤ 0 entonces 0 ≤ −a. (Usa el axioma (Oiv))