1.4. LÍNEAS RECTAS

1.4

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Líneas rectas

En el estudio de la geometría clásica, las rectas son subconjuntos básicos descritos
por los axiomas; se les reconoce intuitivamente y se parte de ellas para construir lo
demás. Con el método cartesiano, esto no es necesario. Las líneas se pueden definir o
construir, correspondiendo a nuestra noción intuitiva de ellas –que no varía en nada
de la de los griegos–, para despues ver que efectivamente cumplen con los axiomas
que antes se les asociaban. En esta sección, definiremos las rectas y veremos que
cumplen los axiomas primero y tercero de Euclides.
Nuestra definición de recta estará basada en la intuición física de una partícula
viajando en movimiento rectilíneo uniforme; es decir, con velocidad fija y en la misma
dirección. Estas dos nociones (velocidad como magnitud y dirección) se han amalgamado en el concepto de vector.
Recordemos que en el ejercicio 1.3, se pide describir al conjunto Lv := {t v ∈ R2 | t ∈ R} donde v ∈ R2 . Debía ser claro que
v
si v 6= 0, entonces Lv , al constar de todos los múltiplos escalares
0
del vector v, se dibuja como una recta que pasa por el origen
(pues 0 = 0 v) con la dirección de v. Si pensamos a la variable
t como el tiempo, la función ϕ(t) = t v describe el movimiento rectilineo uniforme
de una particula que viene desde tiempo infinito negativo, pasa por el orígen 0 en
el tiempo t = 0 (llamada la posición inicial), y seguira por siempre con velocidad
constante v.
Pero por el momento queremos pensar a las rectas como conjuntos (en el capítulo
siguiente estudiaremos más a profundidad las funciones). Los conjuntos Lv , al rotar
v, nos dan las rectas por el orígen, y para obtener otras, bastara “empujarlas” fuera
del origen (o bien, arrancar el movimiento con otra posición inicial).
Definición 1.4.1 Dados un punto p y un vector v 6= 0, la recta
que pasa por p con dirección v es el conjunto:
p

` := {p + t v | t ∈ R}.
2

(1.1)

Una recta o línea en R es un subconjunto que tiene, para algún
p y v 6= 0, la descripción anterior.

v
0

A esta forma de definir una recta se le conoce como representación paramétrica.
Esta representación trae consigo una función entre los números reales y la recta:
ϕ : R → R2
ϕ(t) = p + t v

(1.2)

De hecho, esta función define una biyección entre R y `. Como ` se definio por
medio del parametro t ∈ R, es claro que es la imagen de la función ϕ; es decir, ϕ es
sobre. Demostremos (aunque de la intuición física parezca obvio) que es uno-a-uno.

Lv