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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

Supongamos para esto que ϕ(t) = ϕ(s) para algunos t, s ∈ R y habrá que concluir
que t = s. Por la definición de ϕ se tiene
p + tv = p + sv
De aquí, sumando el inverso del lado izquierdo a ambos (que equivale a pasarlo de un
lado al otro con signo contrario) se tiene
0 =
=
=
=
=

p + s v − (p + t v)
p + s v − p − t v)
(p − p) + (s v − t v)
0 + (s − t)v
(s − t) v

donde hemos usado las propiedades (i), (ii), (iii), (iv) y (viii) del Teorema 1.3.1.1
Del Lema 1.3.1, se concluye que s − t = 0 o bien que v = 0. Pero por hipótesis
v 6= 0 (esto es la escencia), asi que no queda otra que s = t. Esto demuestra que ϕ
es inyectiva; que nuestra intuición se corrobora.
Hemos demostrado que cualquier recta está en biyección natural con R, la recta
modelo, así que todas las líneas son una “copia” de la recta real abstracta R.
Observación 1.4.1 En la definición anterior, asi como en la demostración, no se usa
de manera escencial que p y v esten en R2 . Solo se usa que hay una suma vectorial
y un producto escalar bien definidos. Asi que el punto y el vector podrían estar en
R3 o en Rn . Podemos entonces dar por establecida la noción de recta en cualquier
dimensión al cambiar 2 por n en la Definición 1.4.
Observación 1.4.2 A la función 1.2 se le conoce como “movimiento rectilíneo uniforme” o “movimiento inercial”, pues, como decíamos al principio de la sección,
describe la manera en que se mueve una partícula, o un cuerpo, que no está afectada
por ninguna fuerza y tiene posición p y vector velocidad v en el tiempo t = 0.
Ya podemos demostrar un resultado clásico, e intuitivamente claro.
Lema 1.4.1 Dados dos puntos p y q en Rn , existe una recta que pasa por ellos.

`

Demostración.
Si tuvieramos que p = q, como hay muchas rectas que pasan
por p, ya acabamos. Supongamos entonces que p 6= q, que es el caso interesante. Si
tomamos como punto base para la recta que buscamos a p, bastará
encontrar un vector que nos lleve de p a q, para tomarlo como
q
dirección. Este es la diferencia q − p, pues claramente

d

1

p

p + (q − p) = q ,

Esta es la última vez que haremos mensión explicita del uso del Teorema 1.3.1, de aquí en
adelante se aplicaran sus propiedades como si fueran lo más natural del mundo. Pero vale la pena
que el estudiante se cuestione por algún tiempo qué es lo que se esta usando en las manipulaciones
algebráicas.