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1.4.1

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

Coordenadas Baricéntricas

Todavía podemos exprimirle más información a la demostración del Lema 1.4.1. Veremos cómo se escriben, en términos de p y q, los puntos de su recta, y que esto tiene
que ver con la clásica ley de las palancas. Además, de aquí surgirá una demostración
muy simple del Teorema clásico de concurrencia de medianas en un triángulo.
Supongamos que p y q son dos puntos distintos del plano. Para cualquier t ∈ R,
se tiene que
p + t(q − p) = p + t q − t p
= (1 − t)p + t q
al reagrupar los términos. Y esta última expresión, a su vez, se puede reescribir como
s p + t q con s + t = 1 ,
donde hemos introducido la nueva variable s = 1 − t. De lo anterior se deduce que la
recta ` que pasa por p y q se puede también describir como
` = {s p + t q | s + t = 1}
A los números s, t (con s + t = 1, insistimos), se les conoce como coordenadas baricéntricas del punto x = s p + t q con respecto a p y q.
Las coordenadas baricéntricas tienen la ventaja de que ya no distinguen entre los
dos puntos. Como lo escribiamos antes –solo con t– p era el punto base (“el que
la hace de 0”) y luego q era hacía donde ibamos (“el que la hace de 1”), jugaban un
papel distinto. Ahora no hay preferencia hacia ninguno de los dos; las coordenadas
baricéntricas son “democráticas”. Más aún, al expresar una recta por sus coordenadas baricéntricas no le damos una dirección preferida. Se usan simultaneamente
los parametros naturales para las dos direcciones (de p a q y de q a p); pues si
s + t = 1 entonces
s p + t q = p + t (q − p)
= q + s (p − q).
Nótese que x = s p + t q está en el segmento entre p y q si y sólo si sus dos
coordenadas baricéntricas son no negativas, es decir, si y solo si
q
t ≥ 0 y s ≥ 0. Por ejemplo, el punto medio tiene coordenadas
baricéntricas 1/2, 1/2, es (1/2)p + (1/2)q; y el punto que divide
al segmento de p a q en la proporción de 2/3 a 1/3 se escribe
p
(1/2) q + (1/2) p
(1/3)p + (2/3)q, pues se acerca más a q que a p. La extensión
de la recta más allá de q tiene coordenadas baricéntricas s, t
q
(1/3) q + (2/3) p
con s < 0 (y por lo tanto t > 1); asi que los puntos de ` fuera
del segmento de p a q tienen alguna coordenada baricéntrica
p
negativa (la correspondiente al punto más lejano).
(2/3) q + (1/3) p