1.4. LÍNEAS RECTAS

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Físicamente, podemos pensar a la recta por p y q como una barra rígida. Si
distribuimos una masa (que podemos pensar unitaria, es decir
p
q
que vale 1) entre estos dos puntos, el punto de equilibrio tiene
1/2
1/2
las coordenadas baricéntricas correspondientes a las masas. Si,
por ejemplo, tienen el mismo peso, su punto de equilibrio está en
1/3
2/3
el punto medio. Las masas negativas pueden pensarse como una
fuerza hacia arriba y las correspondientes coordenadas baricén1
0
tricas nos dan entonces el punto de equilibrio para las palancas.
Veremos ahora un teorema clásico cuya demostración se simplifica enormemente usando coordenadas baricéntricas. Dado un
-1/3
4/3
triángulo con vértices a, b, c, se definen las medianas como los
segmentos que van de un vértice al punto medio del lado opuesto
a éste.
Teorema 1.4.1 Dado un triángulo a, b, c, sus tres medianas “concurren” en un
punto que las parte en la proporción de 2/3 (del vértice) a 1/3 (del lado opuesto).
Demostración. Como el punto medio del segmento b, c es ( 12 b + 12 c), entonces la
mediana por a es el segmento
1
1
{s a + t ( b + c) | s + t = 1 , s ≥ 0 , t ≥ 0},
2
2
y analogamente se describen las otras dos medianas. Por suerte, el enunciado del
Teorema nos dice dónde buscar la intersección: el punto que describe en la mediana
de a es precisamente
1
2 1
1
1
1
1
a + ( b + c) = a + b + c.
3
3 2
2
3
3
3

a

Entonces, de las igualdades
1
1
1
2 1
1
1
a+ b+ c =
a + ( b + c)
3
3
3
3
3 2
2
1
2 1
1
=
b + ( c + a)
3
3 2
2
1
2 1
1
=
c + ( a + b)
3
3 2
2

b
c

se deduce que las tres medianas concurren en el punto 13 (a + b + c), es decir, pasan
por él. Este punto es llamado el baricentro del triángulo, y claramente parte a las
medianas en la proporción deseada. De nuevo, el baricentro corresponde al “centro
de masa” o “punto de equilibrio” del triángulo.
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