30

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

EJERCICIO 1.25 Si tienes una barra rígida de un metro y con una fuerza de 10kg quieres
levantar una masa de 40kg, ¿de dónde debes de colgar la masa, estando el punto de apoyo
al extremo de tu barra? Haz un dibujo.
EJERCICIO 1.26 Sean a, b y c tres puntos distintos entre sí. Demuestra que si a está en
la recta que pasa por b y c entonces b está en la recta por a y c.
EJERCICIO 1.27 Encuentra el baricentro del triángulo a = (2, 4), b = (−1, 2), c =
(−1, −1). Haz un dibujo.

EJERCICIO 1.28 Obérvese que en el teorema anterior, así como en la discución que le
precede, nunca usamos que estuvieramos en el plano. ¿Podría el lector enunciar y demostrar
el teorema análogo para tetraedros en el espacio? (Un tetraedro está determinado por cuatro
puntos en el espacio tridimensional, ¿dónde estará su centro de masa?). ¿Puede generalizarlo
a más dimensiones?

1.4.2

Planos en el espacio I

En la demostración del Teorema de las Medianas se uso una idea que podemos utilizar
para definir planos en el espacio. Dados tres puntos a, b y c en R3 (aunque debe
observar el lector que nuestra discusión se generaliza a Rn ), ya sabemos describir
las tres lineas entre ellos, supongamos que son distintas. Entonces podemos tomar
nuevos puntos en alguna de ellas y de estos puntos las nuevas lineas que los unen al
vértice restante (como lo hicimos en el teorema del punto medio de un segmento al
vértice opuesto). Es claro que la unión de todas estas líneas debe ser el plano por
a, b y c; esta es la idea que vamos a desarrollar.
Un punto y en la línea por a y b se escribe como
y = sa+t b

c
b
y
a

x

con s + t = 1 .

Y un punto x en la línea que pasa por y y c se escribe entonces
como
x = r (s a + t b) + (1 − r) c ,
para algún r ∈ R; que es lo mismo que
x = (r s) a + (r t) b + (1 − r) c .

Observemos que los tres coeficientes suman uno:
(r s) + (r t) + (1 − r) = r ( s + t ) + 1 − r = r (1) + 1 − r = 1 .
Y lo mismo hubiera pasado si en lugar de haber empezado con a y b, hubieramos
empezado con otra de las parejas. La tirada entonces es que cualquier combinación
de a, b y c con coeficientes que sumen uno debe estar en su plano. Demostraremos
que está en una linea por uno de los vértices y un punto en la linea que pasa por los
otros dos.