1.4. LÍNEAS RECTAS

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Sean α, β, γ ∈ R tales que α + β + γ = 1. Consideremos al punto
x = α a + β b + γc .
Como alguno de los coeficientes es distinto de 1 (si no, sumarían 3), podemos suponer
sin perdida de generalidad (esto quiere decir que los otros dos
casos son análogos) que α 6= 1. Entonces podemos dividir por
c
x
1 − α y se tiene
¶
µ
y
γ
β
b+
c ,
x = α a + (1 − α)
b
1−α
1−α
asi que x está en la recta que pasa por a y el punto
a
γ
β
®<0
y=
b+
c.
1−α
1−α
En este caso: ¯>0
°>0
Como α +β +γ = 1, entonces β + γ = 1 − α, y los coeficientes
de esta última expresión suman uno. Por lo tanto y esta en la recta que pasa por b
y c. Hemos argumentado la siguiente definición:
Definición 1.4.2 Dados tres puntos a, b y c en R3 no colineales (es decir, que no
esten en una misma linea), el plano que pasa por ellos es el conjunto
Π = {α a + β b + γc | α, β, γ ∈ R ; α + β + γ = 1} .
A una expresión de la forma α a+β b+γc con α+β+γ = 1 la llamaremos combinación
afín (o baricéntrica) de los puntos a, b, c y a los coeficientes α, β, γ las coordenadas
baricéntricas del punto α a + β b + γc.
EJERCICIO 1.29 Considera tres puntos a, b y c no colineales, y sean α, β y γ las correspondientes coordenadas baricéntricas del plano que generan. Observa que cuando una de
las coordenadas baricéntricas es cero entonces el punto correspondiente está en una de las
tres rectas por a, b y c, ¿en cuál?, ¿puedes demostrarlo? Haz un dibujo de los tres puntos y
sus tres rectas. Estas parten al plano en pedazos (¿cuántos?), en cada uno de ellos escribe
los signos que toman las coordenadas baricéntricas (por ejemplo, en el interior del triángulo
se tiene (+, +, +) correspondiendo respectivamente a (α, β, γ)).
EJERCICIO 1.30 Dibuja tres puntos a, b y c no colineales. Con regla y compás encuentra
los puntos x = (1/2)a + (1/4) b + (1/4) c, y = (1/4)a + (1/2) b + (1/4) c y z = (1/4)a +
(1/4) b + (1/2) c. Describe y argumenta tu construcción. Supon que puedes partir en
tres el segmento bc (hazlo midiendo con una regla o a ojo). ¿Puedes construir los puntos
u = (1/2)a + (1/3) b + (1/6) c y v = (1/2)a + (1/6) b + (1/3) c ?
EJERCICIO 1.31 Demuestra que si u y v no son colineales con el origen, entonces el
conjunto {s u + t v | s, t ∈ R } es un plano por el origen. (Usa que s u + t v = r 0+ s u + t v
para cualquier r, s, t ∈ R).

EJERCICIO 1.32 Demuestra que si p y q estan en el plano Π de la Definición 1.4.2, entonces
la recta que pasa por ellos esta contenida en Π.