1.4. LÍNEAS RECTAS

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baricéntrica de ellos. Los puntos más obvios son
a := p ; b := p + u ; c := p + v ,
que claramente están en Π. Obsérvese que entonces
se tiene que u = b − a y v = c − a, de tal manera
que para cualquier s, t ∈ R tenemos que
p + s u + t v = a + s (b − a) + t (c − a)
= a + sb − sa + tc − ta
= (1 − s − t) a + s b + t c .

c
v
p

b
u

a

Puesto que los coeficientes de esta última expresión suman 1, esto demuestra que
Π está contenido en el plano afín generado por a, b, c. E inversamente, cualquier
combinación afín de a, b, c tiene está última expresión, y por la misma igualdad se
ve que esta en Π. Obsérvese finalmente que si nos dan tres puntos a, b, c, se pueden
tomar como punto base a a y como vectores direccionales a (b − a) y (c − a) para
expresar paramétricamente al plano afín que generan, pues las igualdades anteriores
se siguen cumpliendo.
Ver que las condiciones que pusimos en ambas definiciones coinciden se deja como
ejercicio.
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Conviene, antes de seguir adelante, establecer cierta terminología y notación
para cosas, nociones y expresiones que estamos usando mucho:
• Dados vectores u1 , u2 , . . . , uk en Rn (para incluir nuestros casos de interes n =
2, 3 de una buena vez), a una expresión de la forma
s1 u1 + s2 u2 + · · · + sk uk
donde s1 , s2 , . . . , sk son números reales (escalares), se le llama una combinación
lineal de los vectores u1 , u2 , . . . , uk con coeficientes s1 , s2 , . . . , sk . Obsérvese
que toda combinación lineal da como resultado un vector, pero que un mismo
vector tiene muchas expresiones tales.
• Como ya vimos, a una combinación lineal cuyos coeficientes suman uno se le
llama combinación afín. Y a una combinación afín de dos vectores distintos o
de tres no colineales se le llama, además, baricéntrica.
• Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores u1 , u2 , . . . , uk
se le llama el subespacio generado por ellos y se le denotará hu1 , u2 , . . . , uk i. Es
decir,
hu1 , u2 , . . . , uk i := {s1 u1 + s2 u2 + · · · + sk uk | s1 , s2 , . . . , sk ∈ R} .