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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO
Nótese que entonces, si u 6= 0 se tiene que Lu = hui es la recta generada por
u; y ambas notaciones se seguiran usando indistintamente. Aunque ahora hui
tiene sentido para u = 0, en cuyo caso hui = {0}, y Lu se usará para hacer
enfásis en que es una recta.
• Se dice que dos vectores u y v son linealmente independientes si son no nulos y
tales que Lu ∩ Lv = {0}.
• Dado cualquier subconjunto A ⊂ Rn , su trasladado por el vector (o al punto) p
es el conjunto
A + p = p + A := {x + p | x ∈ A} .

Podemos resumir entonces nuestras dos definiciones básicas como: una recta es
un conjunto de la forma ` = p + hui con u 6= 0; y un plano es un conjunto de la
forma Π = p + hu, vi con u y v linealmente independientes.
EJERCICIO 1.33 Demuestra que si u y v son linealmente independientes, entonces la
función f : R2 → R3 definida por f (s, t) = s u + t v es inyectiva.

EJERCICIO 1.34 Demuestra que cualquier plano está en biyección con R2 .

EJERCICIO 1.35 Demuestra que tres puntos a, b, c son no colineales si y sólo si los vectores
u := (b − a) y v := (c − a) son linealmente independientes.
EJERCICIO 1.36 Da una expresión paramétrica para el plano que pasa por los puntos
a = (0, 1, 2), b = (1, 1, 0) y c = (−1, 0, 2).
EJERCICIO 1.37 Demuestra que 0 ∈ hu1 , u2 , . . . , uk i para cualquier u1 , u2 , . . . , uk en Rn .
EJERCICIO 1.38 Demuestra que dos vectores u y v son linealmente independientes si y
sólo si la única combinación lineal de ellos que da 0 es la trivial (i.e., con ambos coeficientes
cero).
EJERCICIO 1.39 Demuestra que
w ∈ hu, vi

1.5

⇔

w + hu, vi = hu, vi

⇔

hu, v, wi = hu, vi .

Medio Quinto

Regresemos al plano. Ya tenemos la noción de recta, y en esta sección veremos que
nuestras rectas cumplen con la parte de existencia del quinto postulado, que nuestra
intuición va correspondiendo a nuestra formalización analítica de la geometría y que
al cambiar los axiomas de Euclides por unos más básicos (los de los números reales)
obtenemos a los anteriores, pero ahora como teoremas demostrables. Ya vimos que por