1.5. MEDIO QUINTO

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cualquier par de puntos se puede trazar un segmento que se extiende indefinidamente
a ambos lados (Axiomas I y III), es decir, que por ellos pasa una recta. El otro axioma
que involucra rectas es el Quinto y este incluye a la noción de paralelismo, así que
habrá que empezar por ella.
Hay una definición conjuntista de rectas paralelas, formalizémosla. Como las
rectas son, por definición, ciertos subconjuntos distinguidos del plano, tiene sentido
la siguiente.
Definición 1.5.1 Dos rectas `1 y `2 en R2 son paralelas, que escribiremos `1 k`2 , si
no se intersectan, es decir si
`1 ∩ `2 = ∅,
donde ∅ denota al conjunto vacio (ver Apendice 1).
Pero además de rectas tenemos algo más elemental que son los vectores (segmentos dirigidos) y entre ellos también hay una noción intuitiva de paralelismo que
corresponde al “alargamiento” o multiplicación por escalares.
Definición 1.5.2 Dados dos vectores u, v ∈ R2 distintos de 0, diremos que u es
paralelo a v, que escribiremos ukv, si existe un número t ∈ R tal que u = t v.
Hemos eliminado al vector 0, el origen, de la definición para no complicarnos la
vida. Si lo hubieramos incluido no es cierto el siguiente ejercicio.

EJERCICIO 1.40 Demuestra que la relación “ser paralelo a” es una relación de equivalencia
en R2 \{0} (en el plano menos el origen llamado el “plano agujerado”). Describe las clases
de equivalencia.
EJERCICIO 1.41 Sean u, v dos vectores distintos de 0. Demuestra que:
ukv

⇔ Lu ∩ Lv 6= {0}

⇔

Lu = Lv

.

EJERCICIO 1.42 Demuestra que la relación entre rectas “ser paralelo a” es simétrica pero
no reflexiva.
EJERCICIO 1.43 Demuestra que dos rectas horizontales, es decir, con vector direccional
d = (1, 0), o son paralelas o son iguales.

Con la noción de paralelismo de vectores, podemos determinar cuando un punto
está en una recta.
Lema 1.5.1 Sea ` la recta que pasa por p con dirección d (d 6= 0), y sea q 6= p,
entonces
q∈`

⇔

(q − p) kd .