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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

Demostración. Tenemos que q ∈ ` si y sólo si existe una
t ∈ R tal que

q
p

q = p + td.
Pero esto es equivalente a que q − p = t d, que por definición es
que q − p es paralelo a d.
¤

d

Teorema 1.5.1 (1/2 Quinto) Sean ` una recta en R2 y q un punto fuera de ella,
entonces existe una recta `0 que pasa por q y es paralela a `.

Demostración. Nuestra definición de recta nos da un punto p y un vector
dirección d 6= 0 para `, de tal manera que

q

` = {p + t d | t ∈ R} .

d

`

p
d
`

0

Es intuitivamente claro –y a la intuición hay que seguirla pues
es, de cierta manera, lo que ya sabíamos– que la recta paralela
deseada debe tener la misma dirección, así que definamos
`0 = {q + s d | s ∈ R} .

Como q ∈ `0 , nos falta demostrar que `k`0 , es decir, que ` ∩ `0 = ∅.Para lograrlo,
supongamos que no es cierto, es decir, que existe x ∈ ` ∩ `0 . Por las expresiones
paramétricas de ` y `0 , se tiene entonces que existen t ∈ R y s ∈ R para las cuales
x = p + t d y x = q + s d. De aquí se sigue que
q+ sd = p+ td
q − p = td − sd
q − p = (t − s) d,
y entonces q ∈ ` por el lema anterior, que es una contradicción a las hipótesis del
teorema. Dicho de otra manera, como demostramos que ` ∩ `0 6= ∅ implica que q ∈ `;
podemos concluir que si q ∈
/ `, como en la hipótesis del teorema, no puede suceder
que ` ∩ `0 sea no vacio; y por lo tanto ` ∩ `0 = ∅ y `k`0 por definición. Lo cual concluye
con la parte de existencia del Quinto Postulado.
¤

`