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1.6

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

Intersección de rectas I

En esta sección se analiza el problema de encontrar la intersección de dos rectas. De
nuevo, sabemos por experiencia e intuición que dos rectas no paralelas se deben intersectar en un punto. ¿Cómo encontrar ese punto? es la pregunta que responderemos
en esta sección.
Hagamos un ejemplo. Sean
l1

`1 = {(0, 1) + t(1, 2) | t ∈ R}
`2 = {(3, 4) + s(2, 1) | s ∈ R}.

l2

La intersección de estas dos rectas `1 ∩ `2 es el punto que cumple
con las dos descripciones. Es decir, buscamos una t ∈ R y una
s ∈ R que satisfagan
0

(0, 1) + t(1, 2) = (3, 4) + s(2, 1)

donde es importante haberle dado a los dos parametros diferente
nombre. Esta ecuación vectorial se puede reescribir como
t(1, 2) − s(2, 1) = (3, 4) − (0, 1)
(t − 2s, 2t − s) = (3, 3)
que nos da una ecuacion lineal con dos incógnitas en cada coordenada. Es decir,
debemos resolver el sistema:
t − 2s = 3
2t − s = 3
Despejando a t en la primera ecuación, se obtiene t = 3 + 2s. Y sustituyendo en la
segunda obtenemos la ecuación lineal en la variable s
2(3 + 2s) − s = 3,
que se puede resolver directamente:
6 + 4s − s = 3
3s = −3
s = −1.
Y por lo tanto, sustituyendo este valor de s en la descripción de `2 , el punto
(3, 4) − (2, 1) = (1, 3)