1.6. INTERSECCIÓN DE RECTAS I

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está en las dos rectas. Nótese que basto con encontrar el valor de un sólo parametro,
pues de la correspondiente descripción paramétrica se obtiene el punto deseado. Pero
debemos encontrar el mismo punto si resolvemos primero el otro parametro. Veamos.
Otra manera de resolver el sistema es eliminar a la variable s. Para esto nos conviene
multiplicar por −2 a la segunda ecuación y sumarla a la primera, para obtener
−3t = −3
de donde t = 1. Que al sustituir en la parametrización de `1 nos da
(0, 1) + (1, 2) = (1, 3)
como esperabamos.
Observemos primero que hay muchas maneras de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales (se llaman asi porque los exponentes de las incógnitas son uno —parece
que no hay exponentes—) con dos incógnitas. Cualquiera de ellos es bueno y debe
llevar a la misma solución.
Que en este problema particular aparezca un sistema de ecuaciones no es casualidad, pues en general, encontrar la intersección de rectas se tiene que resolver así. Ya
que si tenemos dos rectas cualesquiera en R2 :
`1 = {p + t v | t ∈ R}
`2 = {q + s u | s ∈ R}.
Su intersección está dada por la t y la s que cumplen
p+ tv = q+ su
que equivale a
tv − su = q − p

(1.3)

Esta ecuación vectorial, a su vez, equivale a una ecuación lineal en cada coordenada.
Como estamos en R2 , y p, q, v y u son constantes, nos da entonces un sistema de dos
ecuaciones lineales con las dos incógnitas t y s. En cada caso particular el sistema
se puede resolver de diferentes maneras; por ejemplo, despejando una incógnita y
sustituyendo, o bien tomando múltiplos de las ecuaciones y sumándolas para eliminar
una variable y obtener una ecuación lineal con una sola variable (la otra) que se
resuelve directamente.
Para hacer la teoría y entender qué pasa con estos sistemas en general, será bueno
estudiar a las ecuaciones lineales con dos incógnitas de manera geométrica, veremos
que también estan asociadas a las líneas rectas. Por el momento, de manera “algebráica”, o mejor dicho, mecánica, resolvamos algunos ejemplos.