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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

EJERCICIO 1.46 Encuentra los 6 puntos de intersección de las cuatro rectas del Ejercicio
1.4.
EJERCICIO 1.47 Encuentra las intersecciones de las rectas `1 = {(2, 0) + t(1, −2) | t ∈ R},
`2 = {(2, 1) + s(−2, 4) | s ∈ R} y `3 = {(1, 2) + r(3, −6) | r ∈ R}. Dibujalas para entender
que está pasando.

1.6.1

Sistemas de ecuaciones lineales

Veremos ahora un método general para resolver sistemas.
Lema 1.6.1 El sistema de ecuaciones
as + bt = e
cs + dt = f

(1.4)

en las dos incógnitas s, t tiene solución única si su determinante ad − bc es distinto
de cero.
Demostración. Hay que intentar resolver el sistema general, seguir un método que
funcione en todos los casos independientemente de los valores concretos que puedan
tener las constantes a, b, c, d, e y f. Y el método más general es el de “eliminar” una
variable para despejar la otra.
Para eliminar la t del sistema (1.4), multiplicamos por d a la primera ecuación, y
por −b a la segunda, para obtener
ad s + bd t = ed
−bc s − bd t = −bf

(1.5)

de tal manera que al sumar estas dos ecuaciones se tiene
(ad − bc) s = ed − bf .

(1.6)

Si ad − bc 6= 0 2 , entonces se puede despejar s:

ed − bf
ad − bc
Y analogamente (¡hágalo como ejercicio!), o bien, sustituyendo el valor de s en
cualquiera de las ecuaciones originales (¡convénzase!), se obtiene t:
s=

af − ec
.
ad − bc
Lo cual demuestra que si el determinante es distinto de cero, la solución es única; es
precisamente la de las dos fórmulas anteriores.
¤
t=

2

El número ad − bc es llamado el determinante del sistema, porque determina que en este punto
podamos proseguir.