1.7. PRODUCTO INTERIOR

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Veámos ahora que pasa con el sistema 1.4 cuando su determinante es cero. Si
ad − bc = 0, obsérvese que aunque la ecuación (1.6) parezca muy sofisticada porque
tiene muchas letras, en realidad es o una contradicción (algo falso) o una trivialidad.
El coeficiente de s es 0, así que el lado izquierdo es 0. Entonces, si el lado derecho no
es 0 es una contradicción; y si sí es 0, es cierto para cualquier s y hay una infinidad
(precisamente un R) de soluciones.
Lo que sucedió en este caso (ad − bc = 0) es que al intentar eliminar a una de
las variables también se eliminó la otra (como debió haberle sucedido al estudiante
que hizo el Ejercicio 1.6). Entonces, o las dos ecuaciones son múltiplos y comparten
soluciones (cuando ed = bf las ecuaciones (1.5) ya son una la negativa de la otra); o
bien, sólo los lados izquierdos son múltiplos pero los derechos no por el mismo factor
(ed 6= bf ) y no hay soluciones comunes.
Podemos resumir con el siguiente Teorema que ya hemos demostrado.
Teorema 1.6.1 Un sistema de dos ecuaciones lineales
as + bt = e
cs + dt = f

(1.7)

en las dos incógnitas s, t tiene solución única si y sólo si su determinante ad − bc es
distinto de cero. Además, si su determinante es cero (si ad − bc = 0) entonces no
tiene solución o tiene una infinidad de ellas (tantas como R).
Si recordamos que los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
aparecieron buscando la intersección de dos rectas, este Teorema corresponde a nuestra intuición de las rectas: dos rectas se intersectan en un sólo punto o no se intersectan
o son la misma. De él dependerá la demostración de la mitad del Quinto que tenemos
pendiente, pero conviene entrarle al toro por los cuernos: estudiar y entender primero
el significado geométrico de las ecuaciones lineales con dos incógnitas.
EJERCICIO 1.48 Para las rectas de los dos ejercicios anteriores, determina cómo se intersectan las rectas, usando unicamente al determinante.

1.7

Producto Interior

En esta sección se introduce un ingrediente central para el estudio moderno de la
geometría euclidiana: el “producto interior”. Además de darnos la herramienta algebráica para el estudio geométrico de las ecuaciones lineales, en la sección siguiente,
nos dará mucho más. De él derivaremos despues las nociones básicas de distancia y
ángulo (de rigidez). Puede decirse que el producto interior es, aunque menos intuitivo, más elemental que las nociones de distancia y ángulo pues éstas se definirán en