1.7. PRODUCTO INTERIOR

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veremos cómo en el vector u y en la constante c se almacena la información geométrica
de esa recta. Pero no nos apresuremos.
Como en el caso de la suma vectorial y la multiplicación por escalares, conviene
demostrar primero las propiedades elementales del producto interior para manejarlo
despues con más soltura.
Teorema 1.7.1 Para todos los vectores u, v, w ∈ Rn , y para todo número t ∈ R se
cumple que
i)
u·v =v·u
ii)
u · (t v) = t (u · v)
iii) u · (v + w) = u · v + u · w
iv)
u·u≥0
v)
u·u=0⇔u=0

Demostración. Nos interesa demostrarlo en R2 (y como ejercicio en R3 ), aunque
el caso general es escencialmente lo mismo. Convendrá usar la notación de la misma
letra con subindices para las coordenadas, es decir, tomar u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 )
y w = (w1 , w2 ). El enunciado (i) se sigue inmediatamente de las definiciones y la
conmutatividad de los números reales; (ii) se obtiene factorizando:
u · (t v) = u1 (tv1 ) + u2 (tv2 ) = t(u1 v1 + u2 v2 ) = t(u · v) .
De la distributividad y conmutatividad en los reales se obtiene (iii):
u · (v + w) = u1 (v1 + w1 ) + u2 (v2 + w2 )
= u1 v1 + u1 w1 + u2 v2 + u2 w2
= (u1 v1 + u2 v2 ) + (u1 w1 + u2 w2 ) = u · v + u · w .

Al tomar el producto interior de un vector consigo mismo se obtiene
u · u = u21 + u22 ,

que es una suma de cuadrados. Como cada cuadrado es positivo la suma también lo
es (iv); y si fuera 0 significa que cada sumando es 0, es decir, que cada coordenada
es 0 (v).
¤

EJERCICIO 1.49 Demuestra el teorema para n = 3.
EJERCICIO 1.50 Calcula el producto interior de los vectores del Ejercicio ??.
EJERCICIO 1.51 Demuestra sin usar (v), sólo la definición de producto interior, que dado
u ∈ R2 se tiene que
u · x = 0 ∀ x ∈ R2 ⇔ u = 0.

(Observa que sólo hay que usar el lado izquierdo para dos vectores muy sencillos.)
EJERCICIO 1.52 Demuestra el análogo del ejercicio anterior en R3 . ¿Y en Rn ?