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1.7.1

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

El compadre ortogonal

El primer uso geométrico que le daremos al producto interior será para detectar
perpendicularidad. Otra de las nociones básicas en los Axiomas de Euclides que
incluyen el concepto de ángulo recto.
Fijemos al vector u ∈ R2 , y para simplificar la notación digámos que u = (a, b) 6=
0. Si tomamos x = (x, y) como un vector variable, vamos a ver que las soluciones de
la ecuación
u·x=0 ,

(1.8)

es decir, los puntos en R2 cuyas coordenadas (x, y) satisfacen la ecuación
ax + by = 0,
forman una recta que es perpendicular a u. Para esto consideraremos una solución
particular (una de las más sencillas), x = −b , y = a ; y será tan importante esta
solución que le daremos nombre:
Definición 1.7.2 El compadre ortogonal del vector u = (a, b), denotado u⊥ y leido
“u—perpendicular” o “u—ortogonal”, es
u⊥ = (−b, a) .
(Se intercambian coordenadas y a la primera se le cambia el signo.)
Se cumple que
u · u⊥ = a(−b) + ba = 0;
y para justificar el nombre hay que mostrar que
u⊥ se obtiene de u al girarlo 90◦ en sentido contrario a las manecillas del reloj (alrededor del oríu^ = (-b,a)
gen). Para ver esto considérese la figura al margen, donde suponemos que el vector u = (a, b)
u = (a,b)
está en el primer cuadrante, es decir, que a > 0 y
b > 0. Al rotar el triángulo rectángulo de catetos
b
a y b (e hipotenusa u) un ángulo de 90◦ en el
a
orígen se obtiene el correspondiente a u⊥ . Se incluyen además las siguientes dos rotaciones para
que quede claro que esto no depende de los signos
(-a,-b)
de a y b.
Podemos concluir entonces que el “compadre
(b,-a)
ortogonal”, pensado como la función de R2 en
R2 que manda al vector u en su perpendicular
u⊥ (u 7→ u⊥ ) es la rotación de 90◦ en sentido
contrario a las manecillas del reloj alrededor del orígen. Es fácil comprobar que
(u⊥ )⊥ = −u, ya sea con la fórmula o porque la rotación de 180◦ (rotar y volver a
rotar 90◦ ) corresponde justo a tomar el inverso aditivo.