1.7. PRODUCTO INTERIOR

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Como ya es costumbre, veamos algunas propiedades bonitas de la función “compadre ortogonal” respecto a las otras operaciones que hemos definido. La demostración, que consiste en dar coordenadas y aplicar definiciones, se deja al lector.
Lema 1.7.1 Para todos los vectores u, v ∈ R2 , y para todo número t ∈ R se cumple
que
i) (u + v)⊥ = u¡⊥ +¢v⊥
ii)
(t u)⊥ = t u⊥
iii)
u⊥ · v⊥ =
¡ u·v¢
⊥
iv) u · v = − u · v⊥ .

EJERCICIO 1.53 Demuestra el Lema.

Sistemas de ecuaciones lineales II
Usemos la herramienta del producto interior y el compadre ortogonal para revisar
nuestro trabajo previo (Sección 1.6.1) sobre sistemas de dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas. Si pensamos cada ecuación como la coordenada de un vector (y así
fué como surgieron), un sistema tal se escribe
(1.9)

su + tv = c,

donde s y t son las incógnitas y u, v, c ∈ R2 estan dados. Para que este sistema
sea justo el que ya estudiamos, (1.4), denotemos coordenadas u = (a, c), v = (b, d);
y para las constantes (con acrónimo c), digamos que c = (e, f ). Como esta es
una ecuación vectorial, si la multiplicamos (con el producto interior) por un vector,
obtendremos una ecuación lineal real. Y para eliminar a una variable, s digamos,
podemos multiplicar por el compadre ortogonal de u, para obtener
u⊥ · (s u) + u⊥ · (t v)
¡ ⊥
¢
¡
¢
s u · u + t u⊥ · v
¡
¢
s (0) + t u⊥ · v
¢
¡
t u⊥ · v

= u⊥ · c
= u⊥ · c

= u⊥ · c
= u⊥ · c

Definición 1.7.3 El determinante de los vectores u, v ∈ R2 es el número real
det (u, v) := u⊥ · v
Así que si suponemos que det (u, v) 6= 0, podemos despejar t. De manera análoga
podemos despejar s, y entonces concluir que el sistema de ecuaciones tiene solución
única:
t=

u⊥ · c
v⊥ · c
,
s
=
;
u⊥ · v
v⊥ · u