1.7. PRODUCTO INTERIOR

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o bien,
b 6= 0 ⇒ y = −

³ x´
x
ax
⇒ x = (x, y) = − (−b, a) = −
u⊥ .
b
b
b

¤

Hemos demostrado que la ecuación lineal homogénea (se le llama así porque la
constante es 0) ax + by = 0, con a y b constantes reales, tiene como soluciones a
las parejas (x, y) que forman una recta por el origen de R2 . Si empaquetamos la
información de la ecuación en el vector u = (a, b), tenemos que u 6= 0, pues de lo
contrario no habría tal ecuación lineal (sería la tautologia 0 = 0 de lo que estamos
hablando, y no es asi). Pero además hemos visto que el vector u es ortogonal (tambien
llamado normal) a la recta en cuestión, pues ésta esta generada por el compadre
ortogonal u⊥ .
Se justifica entonces la siguiente definición, que era nuestro primer objetivo con el
producto interior (donde de una vez, estamos extrapolando a todas las dimensiones).
Definición 1.7.4 Se dice que dos vectores u y v en Rn son perpendiculares u ortogonales, y se escribe u ⊥ v si u · v = 0 .
Podemos refrasear entonces a la proposición anterior como “dada u ∈ R2 , u 6= 0,
el conjunto de x ∈ R2 que satisfacen la ecuación u · x = 0 son la recta perpendicular
a u”.
Antes de estudiar la ecuación general (no necesariamente homogénea), notemos
que si el producto interior detecta perpendicularidad, también se puede usar para
detectar paralelismo en el plano.
Corolario 1.7.1 Sean u y v dos vectores no nulos en R2 , enonces
ukv

⇔

det (u, v) = u⊥ · v = 0

Demostración. Por la Proposición 1.7.1, u⊥ · v = 0 si y sólo si v pertenece a la
¡ ¢⊥
¡ ¢⊥
¤
recta generada por u⊥ , que es la recta generada por u pues u⊥ = −u.

Hay que hacer notar que si les damos coordenadas a u y a v, digamos u = (a, b)
y v = (c, d), entonces el determinante, que detecta paralelismo, es
u⊥ · v = ad − bc

que ya habíamos encontrado como determinante del sistema de ecuaciones (1.9), pero
tomando a u = (a, c) y v = (b, d).
EJERCICIO 1.55 Dibuja la recta definida como {x ∈ R2 | u · x = 0} para u cada uno de
los siguientes vectores: a) (1, 0), b) (0, 1), c) (2, 1), d) (1, 2), e) (−1, 1).