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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

EJERCICIO 1.56 Describe el lugar geométrico definido como {x ∈ R3 | u · x = 0} para u
cada uno de los siguientes vectores: a) (1, 0, 0), b) (0, 1, 0), c) (0, 0, 1), d) (1, 1, 0).
EJERCICIO 1.57 Sean u = (a, b) y v = (c, d) dos vectores no nulos. Sin usar el producto
interior ni el compadre ortogonal —es decir, de la pura definición y con “algebrita elemental”—
demuestra que u es paralelo a v si y sólo si ad − bc = 0. Compara con la última parte de
la demostración de la Proposición 1.7.1.

1.8

La ecuación normal de la recta

Demostraremos ahora que todas las rectas de R2 se pueden describir por una ecuación
u · x = c,
donde u ∈ R2 es un vector normal a la recta y la constante c ∈ R es escogida
apropiadamente. Esta ecuación vista en coordenadas, equivale a una ecuación lineal
en dos variables (ax + by = c, al tomar u = (a, b) constante y x = (x, y) el vector
variable). Históricamente, el hecho de que las rectas tuvieran tal descripción fué una
gran motivación en el inicio de la geometría analítica.
Tomemos una recta con dirección d 6= 0

u

` = {p + t d | t ∈ R} .

0

p

d
y

x
`

Si definimos u := d⊥ y c := u · p, afirmamos, es decir, demostraremos, que
©
ª
` = x ∈ R2 | u · x = c .

Llamémos `0 a este último conjunto; demostrar la igualdad ` = `0 ,
equivale a demostrar las dos contenciones ` ⊆ `0 y `0 ⊆ `.
Si x = p + t d ∈ `, entonces (usando las propiedades del producto interior y del
compadre ortogonal) tenemos
u · x = u · (p + t d) = u · p + t(u · d)
= u · p + t(d⊥ · d) = u · p + 0 = c
lo cual demuestra que ` ⊆ `0 . Por el otro lado, dado x ∈ `0 (i.e., tal que u · x = c),
sea y := x − p (obsérvese que entonces x = p + y). Se tiene que
u · y = u · (x − p) = u · x − u · p = c − c = 0
Por la Proposición 1.7.1, esto implica que y es paralelo a u⊥ = −d ; y por tanto que
x = p + y ∈ `. Esto demuestra que ` = `0 .