1.8. LA ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTA

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En resumen, hemos demostrado que toda recta puede ser descrita por una ecuación
normal:
Teorema 1.8.1 Dada una recta ` = {p + t d | t ∈ R} en R2 . Entonces ` consta de
los vectores x ∈ R2 que cumplen la ecuación u · x = c, que escribimos
`:u·x=c
¤

donde u = d⊥ y c = u · p .
Este Teorema también podría escribirse:
Teorema 1.8.2 Sea d ∈ R2 \ {0} , entonces
©
ª
{p + t d | t ∈ R} = x ∈ R2 | d⊥ · x = d⊥ · p

Estos enunciados nos dicen cómo encontrar una ecuación normal para una recta
descrita paramétricamente. Por ejemplo, la recta
{(s − 2, 3 − 2s) | s ∈ R}
tiene como vector direccional al (1, −2). Por tanto tiene vector normal a su compadre
ortogonal (2, 1), y como pasa por el punto (−2, 3) entonces está determinada por la
ecuación
(2, 1) · (x, y) = (2, 1) · (−2, 3)
2x + y = −1
(sustituya el lector las coordenadas de la descripción paramétrica en esta última
ecuación).
Para encontrar una representación paramétrica de la recta ` dada por una ecuación
normal
`:

u·x = c

(léase “` dada por la ecuación u · x = c”) bastará encontrar una solución particular p
(que es muy fácil porque se puede dar un valor arbitrario a una variable, 0 es la más
conveniente, y despejar la otra), pues sabemos que la dirección es u⊥ (o cualquier
paralelo). Por ejemplo, la recta dada por la ecuación normal
2x − 3y = 2
tiene vector normal (2, −3). Por tanto tiene vector direccional (3, 2) ; y como pasa
por el punto (1, 0) , es el conjunto
{(1 + 3t, 2t) | t ∈ R} .