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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

Esto también se puede lograr directamente de las coordenadas, pero hay que
partirlo en casos. Si u = (a, b), tenemos
`:

ax + by = c.

Supongamos que a 6= 0. Entonces se puede despejar x:
x=

c
b
− y
a a

y todas las soluciónes de la ecuación se obtienen dando diferentes valores a y; es decir,
son
½µ
¶
¾ ½³
µ
¶
¾
c
b
c ´
b
− y, y | y ∈ R =
,0 + y − ,1 | y ∈ R
a a
a
a
que es una recta con dirección (−b, a). Nos falta ver cuando a = 0, pero entonces la
recta es la horizontal y = c/b. Si hubieramos hecho el análisis cuando b 6= 0, se nos
hubiera confundido la notación de el caso clásico que vemos en el siguiente parrafo.
La ecuación “funcional” de la recta
Es bien conocida la ecuación funcional de la recta:

y = mx + b

b

m
1

y = mx + b
y usada para describir rectas como gráficas de una función; aquí m es la pendiente y b es llamada la “ordenada
al orígen” o el “valor inicial”. En nuestros términos, esta
ecuación se puede reescribir como
−mx + y = b

o bien, como
(−m, 1) · (x, y) = b
Por lo tanto, tiene vector normal n = (−m, 1). Podemos escoger a d = (1, m) = −n⊥
como su vector direccional y a p = (0, b) como una solución particular. Asi que su
parametrización natural es (usando a x como parametro):
{(0, b) + x(1, m) | x ∈ R} = {(x, mx + b) | x ∈ R}
que es la gráfica de una función. Obsérvese que todas las rectas excepto las verticales
(con dirección (0, 1)) se pueden expresar así.