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1.8.1

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

Intersección de rectas II

Regresemos ahora al problema teórico de encontrar la intersección de rectas, pero con
la nueva herramienta de la ecuación normal. Consideremos dos rectas `1 y `2 en R2 .
Sean u = (a, b) y v = (c, d) vectores normales a ellas respectivamente, de tal manera
que ambos son no nulos y existen constantes e, f ∈ R para las cuales
`1 :
`2 :

u·x=e
v·x=f .

Es claro entonces que `1 ∩ `2 consta de los puntos x ∈ R2 que satisfacen ambas
ecuaciones. Si llamamos, como de costumbre, x y y a las coordenadas de x (es decir,
si hacemos x = (x, y)), las dos ecuaciones anteriores son el sistema
ax + by = e
cx + dy = f ,
con a, b, c, d, e, f constantes y x, y variables o incógnitas. Este es precisamente el sistema que estudiamos en la Sección ??; aunque allá hablabamos de los “parametros
s y t”, son escencialmente el mismo. Pero ahora tiene el significado geométrico que
anelabamos: resolverlo es encontrar el punto de intersección de dos rectas (sus coordenadas tal cual, y no los parametros para encontrarlo, como antes). Como ya hicimos
el trabajo abstracto de resolver el sistema, sólo nos queda por hacer la traducción
al lenguaje geométrico. Como ya vimos, el tipo de solución (una única, ninguna o
tantas como reales) depende del determinante del sistema ad − bc, y este, a su vez, ya
se nos a pareció (nótese que det (u, v) = u⊥ · v = ad − bc) como el númerito mágico
que detecta paralelismo (Corolario 1.7.1). De tal manera que del Corolario 1.7.1 y
del Teorema 1.6.1 podemos concluir:
Teorema 1.8.3 Dadas las rectas
`1 :
`2 :

u·x = e
v·x=f .

entonces:
i) det (u, v) 6= 0 ⇔ `1 ∩ `2 es un único punto
ii) det (u, v) = 0 ⇔ `1 k `2 ⇔ `1 ∩ `2 = ∅ o `1 = `2
Consideremos con más detenimiento el segundo caso, cuando el determinante u⊥ ·v
es cero y por tanto los vectores normales (y las rectas) son paralelos. Tenemos entonces
que para alguna t ∈ R, se cumple que v = t u (nótese que t 6= 0, pues ambos
vectores son no nulos). La disyuntiva de si las rectas no se intersectan o son iguales
corresponde a que las constantes e y f difieran por el mismo factor, es decir si f 6= t e