1.8. LA ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTA

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o f = t e respectivamente. Podemos sacar dos conclusiones interesantes. Primero,
dos ecuaciones normales definen la misma recta si y sólo si las tres constantes que
las determinan (en nuestro caso (a, b, e) y (c, d, f )) son vectores paralelos en R3 . Y
segundo, que al fijar un vector u = (a, b) y variar un parametro c ∈ R, las ecuaciones
u · x = c determinan el haz de rectas paralelas que es ortogonal a u.
Otro punto interesante en el que vale la pena recapitular es en el método que
usamos para resolver sistemas de ecuaciones. Se consideraron ciertos múltiplos de
ellas y luego se sumaron. Es decir, para ciertas α y βen
R se obtiene, de las dos ecuaciones dadas, una nueva de la
u
forma
®u+¯v

0
p

(α u + β v) · x = α e + β f .

v

Esta es la ecuación de otra recta. La propiedad importante
que cumple es que si p satisface las dos ecuaciones dadas entonces también satisface a ésta última por las propiedades
de nuestras operaciones. De tal manera que esta nueva
ecuación define una recta que pasa por el punto de intersección p. El método de eliminar una variable consiste en
encontrar la horizontal o la vertical que pasa por el punto (la mitad del problema).
Pero en general, todas las ecuaciones posibles de la forma anterior definen el haz de
rectas concurrentes por el punto de intersección p cuando u y v no son paralelos,
pues los vectores α u + β v (al variar α y β) son más que suficientes para definir todas
las posibles direcciones.
Por último, y aunque hayamos ya demostrado la parte de existencia, concluyamos
con el Quinto usando al Teorema 1.8.3
Teorema 1.8.4 Dada una recta ` y un punto p fuera de ella en el plano, existe una
única recta `0 que pasa por p y no intersecta a `.
Demostración. Existe un vector u 6= 0 y una constante c ∈ R, tales que ` esta dada
por la ecuación u · x = c. Sea
`0 :

u·x = u·p .

Entonces p ∈ `0 porque satisface la ecuación, ` ∩ `0 = ∅ porque u · p 6= c (pues p ∈
/ `),
y cualquier otra recta por p intersecta a ` pues su vector normal no es paralelo a u.
¤

EJERCICIO 1.65 Encuentra la intersección de las rectas (a), (b), (c) y (d) del Ejercicio 59.
EJERCICIO 1.66 Demuestra que dos vectores u y v en R2 son linealmente independientes
si y sólo si u⊥ · v 6= 0.