1.8. LA ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTA

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EJERCICIO 1.69 Demuestra que las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes (el
punto en el que concurren se llama circuncentro). Donde la mediatriz de un segmento es
su ortogonal que pasa por el punto medio.
EJERCICIO 1.70 Encuentra el circuncentro del triàngulo con vértices (1, 1), (1, −1) y
(−2, −2). Haz el dibujo del triángulo y sus mediatrices.

1.8.3

Planos en el espacio II

Hemos definido las rectas en Rn por su representación paramétrica y, en R2 , acabamos
de ver que también tienen una representación normal (en base a una ecuación lineal).
Es entonces importante hacer notar que este fenómeno sólo se da en dimensión 2. En
R3 , que es el otro espacio que nos interesa, los planos (¡no las rectas!) son las que se
definen por la ecuación normal. Veamos esto con cuidado.
Dado un vector n ∈ R3 distinto de 0; sea, para cualquier d ∈ R,
Πd :

n·x = d

es decir, Πd := {x ∈ R3 | n · x = d}. Llamamos a la constante d pues ahora el
vector normal es de la forma n = (a, b, c) y entonces la ecuación anterior se escribe
en coordenadas como
ax + by + cz = d
con el vector variable x = (x, y, z). Afirmamos que Πd es un plano. Recuérdese que
definimos plano como el conjunto de combinaciones afínes (o baricéntricas) de tres
puntos no colineales.
Veámos primero que si tres puntos a, b, c satisfacen la ecuación n · x = d, entonces
los puntos del plano que generan también la satisfacen. Para esto, tomamos α, β, γ ∈
R tales que α + β + γ = 1, y entonces se tiene
n · (αa + βb + γc) = α (n · a) + β (n · b) + γ (n · c)
= αd + βd + γd
= (α + β + γ) d = d.
Lo cual demuestra que si a, b, c ∈ Πd entonces el
plano (o si son colineales, la recta) que generan está
contenido en Πd . Faltaría ver que en Πd hay tres
puntos no colineales y luego demostrar que no hay
más soluciones que las del plano que generan.

c
b
a