1.9. NORMA Y ÁNGULOS

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EJERCICIO 1.71 Sea n = (a, b, c) tal que a 6= 0. Demuestra que
©
ª
x ∈ R3 | n · x = 0 = { s (−b, a, 0) + t (−c, 0, a) | s, t ∈ R}

EJERCICIO 1.72 Describe el plano en R3 dado por la ecuación x + y + z = 1.

* EJERCICIO 1.73 Sea n un vector no nulo en Rn .

a) Demuestra que V0 := {x ∈ Rn | n · x = 0} es un subespacio vectorial de Rn ; es decir, que
la suma de vectores en V0 se queda en V0 y que el “alargamiento” de vectores en V0 también
está en V0 .
b) Demuestra que para cualquier d ∈ R, el conjunto Vd := {x ∈ Rn | n · x = d} es un
trasladado de V0 ; es decir, que existe un p ∈ Rn tal que Vd = V0 + p = {y + p | y ∈ V0 }.
c) ¿Qué dimensión dirías que tiene Vd ? Argumenta un poco tu respuesta.

1.9

Norma y ángulos

Del producto interior, obtendremos la noción de norma o magnitud de los vectores,
que corresponde a la distancia del punto al orígen.
Definición 1.9.1 Dado un vector v ∈ Rn , su norma (o magnitud) es el número real:
√
|v| := v · v ,
de tal manera que la norma es una función | | : Rn → R.
Como v · v ≥ 0, Teorema 1.7.1, tiene sentido tomar su raiz cuadrada (que a su
vez se define como el número positivo tal que al elevarlo al cuadrado nos da el dado).
Se tiene entonces la siguiente fórmula que es una definición equivalente de la norma
y que será usada con mucho más frecuencia
|v|2 = v · v .
En R2 la norma se escribe, con coordenadas v = (x, y),
como

x = (x,y)
j
jx

x

|v|2 = x2 + y 2 .
Entonces |v| corresponde a la distancia euclidiana del orígen al punto v = (x, y), pues
de acuerdo al Teorema de Pitágoras, x y y son lo que miden los catetos del triángulo
rectángulo con hipotenusa v. Aquí es donde resulta importante (por primera vez)
que los ejes coordenados se tomen ortogonales, pues entonces la fórmula para calcular
la distancia euclidiana al origen a partir de las coordenadas se hace sencilla.

y