1.9. NORMA Y ÁNGULOS

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i.
|v| ≥ 0
ii. |v| = 0 ⇔ v = 0
iii.
| t v | = |t| |v|
iv. |u| + |v| ≥ |u + v|
v.
|u| |v| ≥ |u · v|
Demostración. La primera afirmacion es consecuencia inmediata de la definición
de raiz cuadrada, y la segunda del Teorema ??. La tercera, donde también se usa ese
teorema, es muy simple pero con una sutileza:
| t v |2 = (tv) · (tv) = t2 (v · v) = t2 |v|2
√
de donde, tomando raiz cuadrada, se deduce | t v | = |t| |v|. Pues t2 no siempre√es t
sino su valor absoluto |t| que es positivo siempre
(y que podría definirse |t| := t2 );
q

nótese además que como |v| ≥ 0 entonces |v|2 = |v|. Obsérvese que para n = 1 (es
decir, en R) la norma y el balor absoluto coinciden, asi que usar la misma notación
para ambos no causa ningún conflicto.
El inciso (iv) es conocido como “la desigualdad del triángulo”, pues dice que
en el triángulo con vértices 0, u y u + v, es más corto irse directamente de 0 a
u + v (|u + v|) que pasar primero por u (|u| + |v|). Para
demostrarla, nótese primero que como ambos lados de la
jvj
desigualdad son no negativos, entonces está es equivalente
a que la misma desigualdad se cumpla para los cuadrados,
u
i.e.,
vj
+
ju

|u| + |v| ≥ |u + v|

⇔

juj

(|u| + |v|)2 ≥ |u + v|2 .

Y está última desigualdad es equivalente a que (|u| + |v|)2 −
|u + v|2 ≥ 0. Así que debemos desarrollar el lado izquierdo:

v

0

(|u| + |v|)2 − |u + v|2 = (|u| + |v|)2 − (u + v) · (u + v)
= |u|2 + |v|2 + 2 |u| |v| − (u · u + v · v + 2 (u · v))
= 2(|u| |v| − (u · v)) .
Queda entonces por demostrar que |u| |v| ≥ (u · v), pero esto se sigue del inciso (v),
que es una afirmación más fuerte que demostraremos a continuación independientemente.

u+v