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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

El inciso (v) es conocido como “la desigualdad de Schwartz”. Por un razonamiento análogo al del inciso anterior, bastará demostrar que (|u| |v|)2 − |u · v|2 es
positivo. Lo haremos para R2 con coordenadas, dejando el caso de R3 , y de Rn, como
ejercicios. Supongamos entonces que u = (a, b) y v = (α, β) para obtener
|u|2 |v|2 − |u · v|2 =

¡ 2
¢¡
¢
a + b2 α2 + β 2 − (aα + bβ)2

= a2 α2 + b2 β 2 + a2 β 2 + b2 α2
¡
¢
− a2 α2 + b2 β 2 + 2aαbβ
= a2 β 2 − 2 (aβ) (bα) + b2 α2
= (aβ − bα)2 ≥ 0 ;

donde la última desigualdad es porque el cuadrado de cualquier número es no negativo.
Lo cual demuestra la desigualdad de Schwartz, la del Triángulo y completa al Teorema.
¤

EJERCICIO 1.74 Demuestra que dos vectores u y v son perpendiculares si y sólo si
|u + v|2 = |u|2 + |v|2 . Haz el dibujo.
EJERCICIO 1.75 Demuestra que dos vectores u y v son perpendiculares si y sólo si |u + v| =
|u − v|. Haz el dibujo. Observa que este enunciado corresponde a que un paralelogramo es
un rectángulo si y sólo si sus diagonales miden lo mismo.
EJERCICIO 1.76 Sean u y v dos vectores no nulos. Demuestra que tienen la misma norma
si y sólo si u + v y u − v son ortogonales.
EJERCICIO 1.77 Demuestra la desigualdad de Schwartz en R3 . ¿Puedes dar, o describir,
la demostración en Rn ?

1.9.1

El círculo unitario

e2

S1
0

e1

A los vectores que tienen norma igual a uno, se les llama vectores
unitarios. Y al conjunto de todos los vectores unitarios en R2 se le
llama el círculo unitario y se le denota S1 . La notación viene de la
palabra “sphere” en ingles, que significa esfera; pues en general se
puede definir a la esfera de dimensión n como
Sn =

©

x ∈ Rn+1 | |x| = 1

ª

.