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Nuestra suposición básica es que la función u : R → S1 que hemos descrito, está
bien definida. Se cumple entonces que

u(µ)

¼

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

u (θ) = u (θ + 2π) ,
pues en tiempo 2π la particula da justo una vuelta (la longitud del
círculo mide lo mismo independientemente de dónde empezemos a
medir). Y también que u (θ + π) = −u (θ), pues π es justo el ángulo
u(µ+¼)
que da media vuelta.
Observemos ahora que al pedir que la particula viaje en el círculo unitario con
velocidad constante 1 entonces su vector velocidad, que incluye ahora dirección además
de magnitud, es tangente a S1 (la piedra de la honda sale por la
u(µ)?
tangente), y es fácil ver que entonces es perpendicular al vector
0
de posición u (θ), pero más precisamente es justo su compadre
u (µ)
ortogonal porque va girando en “su” dirección, “hacia él”. Usando
la notación de derivadas, podríamos escribir
u(µ)
u0 (θ) = u (θ)⊥ .
Hay que remarcar que al medir ángulos con radianes, si bien ganamos en naturalidad matemática, es inevitable la ambigüedad de que a los ángulos no corresponde
un número único. Pues θ y θ + 2nπ, para cualquier n ∈ Z, determinan al mismo
ángulo, es decir u (θ) = u (θ + 2nπ). Podemos exigir que θ este en el intervalo entre
0 y 2π, o bien, que resulta más agradable geométricamente, en el intervalo de −π a
π, para reducir la ambigüedad sólo a los extremos. Pero al sumar o restar ángulos,
inevitablemente nos saldremos de este intervalo y habría que volver a ajustar.
Funciones trigonométricas
Recordemos ahora que S1 es un subconjunto de R2 , así que el punto u(θ) tiene
dos coordenadas precisas. Estas estan dadas por las importantísimas funciones trigonométricas coseno y seno. Más precisamente, podemos definir

u(µ)

(cos θ, sen θ) := u(θ),

es decir, cos θ y sen θ son las coordenadas cartesianas del
punto u(θ) ∈ S1 . Entonces el coseno y el seno corresponden
senµ
respectivamente al cateto adyacente y al cateto opuesto de
µ
un triángulo rectángulo con hipotenusa 1 y ángulo θ, como se
cos µ
ve en trigonometría de secundaria. Se puede también pensar
que si damos por establecidas a las funciones Seno y Coseno,
entonces la función u (θ) está dada por la ecuación anterior. Hay que remarcar que
la pertenencia u(θ) ∈ S1 equivale entonces a la ecuación

1

sen2 θ + cos2 θ = 1.