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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

EJERCICIO 1.81 ¿Cuál es el conjunto de números que usan las coordenadas de las horas
del reloj?

1.9.2

Coordenadas polares

El círculo unitario S1 (a cuyos puntos hemos identificado con los ángulos tomando
su ángulo con el vector base e1 = (1, 0)) tiene justo un representante de cada posible
dirección en R2 , donde ahora una dirección y su opuesta son diferentes (aunque sean,
según nuestra definición, paralelas). De tal manera que a cualquier punto de R2 que
no sea el origen se llega viajando en una (y exactamente una) de estas direcciones.
Esta es la idea central de las coordenadas polares, que en muchas situaciones son
más naturales, o útiles, para identificar los puntos del plano. Por ejemplo, son las
que intuitivamente usa un cazador: apuntar –decidir una dirección– es la primera
coordenada y luego, de acuerdo a la distancia del pato –la segunda coordenada–
tiene que ajustar el tiro para que las trayectorias de pato y perdigones se intersecten.
Sea¡x cualquier
vector no nulo en R2 . Entonces |x| =
6 0 y tiene sentido tomar el
−1 ¢
vector |x|
x, que es unitario pues como |x| > 0 implica que |x|−1 > 0, entonces
tenemos
¯ −1 ¯ ¯ −1 ¯
¯|x| x¯ = ¯|x| ¯ |x| = |x|−1 |x| = 1.
x
De aquí que existe un único u (θ) ∈ S1 (aunque θ no es único como
real, sí lo es como ángulo) tal que

u(µ)

S1

u (θ) = |x|−1 x

µ

y claramente se cumple que
x = |x| u (θ) .
A u (θ) se le referira como la dirección de x. A la pareja (θ, |x|) se le llama las
coordenadas polares del vector x. Se usa el término “coordenadas” pues determinan
al vector, es decir, si nos dan una pareja (θ, ρ) con ρ ≥ 0 obtenemos un vector

x
½
µ

x = ρ u (θ)
con magnitud ρ y dirección u (θ), o bien, ángulo θ. Obsérvese
que sólo con el origen hay ambiguedad: si ρ = 0 en la formúla
anterior, para cualquier valor de θ obtenemos al origen; éste no
tiene un ángulo definido. Así que al hablar de coordenadas polares
supondremos que el vector en cuestión es no nulo. Por nuestra
convención de u (θ), lo que representa θ es el ángulo respecto al
eje x en su dirección positiva.