1.9. NORMA Y ÁNGULOS

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EJERCICIO 1.82
√ las
¢ coordenadas (cartesianas) de los vectores cuyas coordenadas polares
¡ Da
son (π/2, 3), π/4, 2 , (π/6, 2), (π/6, 1) .
EJERCICIO 1.83 Si tomamos (θ, ρ) como coordenadas polares, describe los subconjuntos
de R2 definidos por las ecuaciones θ = cte (“θ igual a una constante”) y ρ = cte.

1.9.3

Angulo entre vectores

Podemos usar coordenadas polares para definir el ángulo entre vectores en general.
Definición 1.9.2 Dados x y y, dos vectores no nulos en R2 , sean (α, |x|) y (β, |y|)
sus coordenadas polares respectivamente. El ángulo de x a y es
−
→ (x, y) = β − α
ang
Obsérvese que el ángulo tiene dirección (de ahí que le hayamos
puesto la flechita de sombrero), ya que claramente
−
→ (x, y) = −−
→ (y, x) .
ang
ang

y

¯
®
−
→
Pues ang (x, y) corresponde al movimiento angular que nos lleva
→ (y, x) es justo el movimiento
de la dirección de x a la de y, y −
ang
inverso. Así que podemos resumir diciendo que las coordenadas polares de un vector
x (recúerdese que al aplicar el término ya suponemos que es no nulo) es la pareja
→ (e1 , x) , |x|) .
(−
ang
Con mucha frecuencia van a aparecer ángulos no dirigidos, pensados como un
sector del círculo unitario sin principio ni fin determinados. Para ellos usaremos
la notación ang (x, y) (sin la flechita), llamándolo el ángulo entre x y y. Aunque
intuitivamente es claro lo que queremos (piénsese en una porción de una pizza), su
definición es un poco más laboriosa. Si tomamos dos vectores unitarios en S1 , estos
parten al círculo en dos sectores, uno de ellos es menor que medio círculo y ese es el
ángulo entre ellos. Asi que debemos pedir que
0 ≤ ang (x, y) ≤ π .
Y es claro que escogiendo a α y a β (los ángulos de x y y, respectivamente) de
manera adecuada se tiene que ang (x, y) := |β − α| ∈ [0, π]. Asi que, por ejemplo,
ang (x, y) = 0 significa que x y y apuntan en la misma dirección, mientras que
ang (x, y) = π significa que x y y apuntan direcciones contrarias, y ang (x, y) = π/2
cuando son perpendiculares.
EJERCICIO 1.84 Cuál
¡√ es¢el ángulo de x a y, cuando a) x = (1, 0) , y = (0, −2) b) x = (1, 1) ,
3, 2 , y = (1, 0).
y = (0, 1) b) x =

x