1.10. BASES ORTONORMALES

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Teorema 1.10.1 Sean u y v una base ortonormal de R2 , entonces para cualquier
x ∈ R2 se tiene que
x = (x · u) u + (x · v) v .
Demostración.
ecuaciones

Suponemos que x está dado, y vamos a resolver el sistema de
(1.11)

su+ tv = x

x

x²v

con incógnitas t, s. Tomando producto interior con u en la ecuación
anterior obtenemos
s (u · u) + t (v · u) = x · u .

x²u
u

v

Pero u · u = 1 pues u es unitario y v · u = 0 pues u y v son perpendiculares, asi que
s =x·u .

Analogamente, tomando producto interior por v, se obtiene que t = x · v. De tal
manera que el sistema (1.11) sí tiene solución y es la que asegura el teorema.
¤
Vale la pena observar que el truco que acabamos de usar para resolver un sistema
de dos ecuaciones con dos incógnitas no es nuevo, lo usamos en la Sección 1.7.1
tomando producto interior con el compadre ortogonal; la diferencia es que aquí el
otro vector de la base ortonormal está dado.
Como corolario a este teorema obtenemos la interpretación geométrica del producto interior de vectores unitarios.
Corolario 1.10.1 Si u, v ∈ S1 y α es el ángulo entre ellos, i.e., α = ang (u, v),
entonces
u · v = cos α

→ (u, v) el ángulo de u a v, de tal manera que,
Demostración.
Sea β = −
ang
escogiéndolos adecuadamente, se tiene que α = ±β. Usando el teorema anterior con
la base ortonormal u, u⊥ y el vector v (en vez de x) se obtiene
⊥

v = (v · u) u + (v · u ) u .
Pero también es claro geométricamente que
v = cos β u + sen β u⊥ .

v

u?

⊥

S1

1

sen¯
¯
¯
cos

Puesto que cos β = cos α, pues α = ±β, el corolario se sigue de que la solución de
un sistema con determinante ¡no cero
(en nuestro caso el determinante del
¢ es única
⊥
⊥
⊥
⊥
¤
sistema v = s u + t u es det u, u = u · u = 1).

u