1.10. BASES ORTONORMALES

1.10.2

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El caso general

Puesto que el Teorema 1.10.1 y su Corolario 1.10.1 se demostraron en R2 , puede
dudarse de la validez de los resultados que dependieron de ellos en el caso general
de Rn , pero nos interesa establecer el caso n = 3. Vale la pena entonces hacer unas
aclaraciones y ajustes a manera de repaso. Lo que realmente se uso del Teorema 1.10.1
fué que cuando u es un vector unitario (en cualquier dimensión ahora) entonces x · u
tiene un significado geométrico muy preciso: es lo que hay que viajar en la dirección
u para que de ahí, x quede en dirección ortogonal a u. Podemos precisarlo de la
siguiente manera.
Lema 1.10.1 Sea u ∈ Rn un vector unitario (es decir, tal que |u| = 1). Entonces
para cualquier x ∈ Rn existe un vector y perpendicular a u y tal que
x = (x · u) u + y .
Demostración. Es muy fácil, declaremos y := x − (x · u) u y basta ver que y · u = 0:
y · u = (x − (x · u) u) · u
= x · u − (x · u)(u · u) = x · u − x · u = 0 .
¤
Si pensamos ahora en el plano generado por u y x (en el que también se encuentra
y) y dentro de él en el triángulo rectángulo 0, (x · u) u, x; se obtiene que
cos α =

x·u
|x|

x

xj

j
donde α es el ángulo entre los vectores u y x. Y de aquí, el Teorema
1.10.2 se sigue inmediatamente al permitir que u sea no necesariamente
®
x²u
u
unitario. Ademas, sus dos corolarios, y por lo tanto el Teorema 1.9.2
0
valen también en Rn .
Si nos ponemos quisquillosos con la formalidad, se notará una falla en lo anterior
(pasamos un “strike” al lector), pues no hemos definido “ángulo entre vectores” más
allá de R2 . Tómese entonces como la motivación intuitiva para la definición general
que hará que todo cuadre bien.
Definición 1.10.2 Dados dos vectores no nulos u y v en Rn el ángulo entre ellos es
µ
¶
u·v
ang (u, v) = arccos
.
|u| |v|

Nótese que por la desigualdad de Schwartz (dejada al lector para R3 en el Ejercicio
1.9) el árgumento de la función arccos está en el intervalo [−1, 1], así que está bien
definido el ángulo, y queda en el intervalo [0, π].

y